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| Vorwort | v | |
| 1 | Grundlagen | 1 |
| 1.1 | Mengenlehre | 1 |
| 1.1.1 | Mengenbegriff | 2 |
| 1.1.2 | Mengenoperationen | 4 |
| 1.1.3 | Abbildungen | 7 |
| 1.2 | Logik | 12 |
| 1.2.1 | Aussagenlogik | 12 |
| 1.2.2 | Prädikatenlogik | 18 |
| 1.2.3 | Beweise | 23 |
| 1.3 | Reelle Zahlen | 25 |
| 1.3.1 | Natürliche und ganze Zahlen | 25 |
| 1.3.2 | Rationale Zahlen | 34 |
| 1.3.3 | Reelle Zahlen | 43 |
| 1.4 | Rechnen mit reellen Zahlen | 54 |
| 1.4.1 | Potenzen und Wurzeln | 54 |
| 1.4.2 | Summen und Produkte, Binomischer Lehrsatz | 56 |
| 1.4.3 | Beträge und Ungleichungen | 64 |
| 1.4.4 | Uber das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen | 70 |
| 1.5 | Reelle Funktionen | 77 |
| 1.5.1 | Notation reeller Funktionen | 77 |
| 1.5.2 | Eigenschaften von reellen Funktionen | 80 |
| 1.5.3 | Umkehrfunktion | 84 |
| 1.5.4 | Verkettung von Funktionen | 86 |
| 1.5.5 | Signum- und Betragsfunktion | 88 |
| 1.5.6 | Polynome und gebrochen-rationale Funktionen | 89 |
| 1.5.7 | Potenz- und Wurzelfunktionen | 100 |
| 1.5.8 | Exponentialfunktionen und Logarithmen | 101 |
| 1.5.9 | Trigonometrische Funktionen | 111 |
| 1.5.10 | Hyperbel- und Areafunktionen | 127 |
| 1.6 | Komplexe Zahlen | 130 |
| 1.6.1 | Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit | 131 |
| 1.6.2 | Komplexe Arithmetik | 132 |
| 1.6.3 | Die Gauß'sche Zahlenebene | 134 |
| 1.6.4 | Euler'sehe Gleichung und Polarform komplexer Zahlen | 137 |
| 1.6.5 | Komplexe Wechselstromrechnung* | 143 |
| 1.6.6 | Fundamentalsatz der Algebra | 146 |
| 1.7 | Lineare Gleichungssysteme und Matrizen | 151 |
| 1.7.1 | Lineare Gleichungssysteme | 151 |
| 1.7.2 | Matrizen, Zeilen- und Spaltenvektoren | 153 |
| 1.7.3 | Lösen linearer Gleichungssysteme | 160 |
| 1.7.4 | Inverse Matrix und transponierte Matrix | 167 |
| 1.7.5 | Symmetrische und orthogonale Matrizen | 172 |
| 1.7.6 | Dreiecksmatrizen, Bandmatrizen und LR-Zerlegung * | 175 |
| 1.8 | Determinanten | 179 |
| 1.8.1 | Definition und elementare Eigenschaften von Determinanten | 179 |
| 1.8.2 | Determinanten und lineare Gleichungssysteme | 187 |
| 1.9 | Aufgaben | 191 |
| 2 | Differenzial- und Integralrechnung | 203 |
| 2.1 | Folgen | 203 |
| 2.1.1 | Definition und Grundbegriffe von Folgen | 204 |
| 2.1.2 | Konvergenz und Divergenz von Folgen | 208 |
| 2.1.3 | Rechnen mit konvergenten Folgen | 212 |
| 2.1.4 | Konvergenzkriterien | 215 |
| 2.1.5 | Die Euler'sehe Zahl e als Grenzwert von Folgen | 218 |
| 2.1.6 | Approximation reeller Potenzen | 220 |
| 2.1.7 | Bestimmte Divergenz | 221 |
| 2.1.8 | Häufungspunkte einer Folge * | 224 |
| 2.1.9 | Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen* | 224 |
| 2.2 | Zahlen-Reihen | 228 |
| 2.2.1 | Definition und Konvergenz einer Reihe | 229 |
| 2.2.2 | Rechnen mit konvergenten Reihen | 232 |
| 2.2.3 | Alternativen zur Definition der Reihenkonvergenz | 233 |
| 2.2.4 | Absolute Konvergenz | 235 |
| 2.2.5 | Konvergenzkriterien für Reihen | 237 |
| 2.3 | Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit | 247 |
| 2.3.1 | Umgebungen und Uberdeckungen | 247 |
| 2.3.2 | Grenzwerte von Funktionen | 249 |
| 2.3.3 | Stetigkeit | 262 |
| 2.3.4 | Eigenschaften stetiger Funktionen | 268 |
| 2.3.5 | Unstetigkeitsstellen | 275 |
| 2.4 | Differenzierbarkeit und Ableitungen | 278 |
| 2.4.1 | Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten | 278 |
| 2.4.2 | Ableitungsregeln | 285 |
| 2.4.3 | Newton-Verfahren | 293 |
| 2.4.4 | Das Differenzial | 295 |
| 2.4.5 | Höhere Ableitungen | 298 |
| 2.5 | Zentrale Sätze der Differenzialrechnung | 300 |
| 2.5.1 | Satz von Fermat: notwendige Bedingung für lokale Extrema | 300 |
| 2.5.2 | Mittelwertsätze der Differenzialrechnung | 300 |
| 2.5.3 | Regeln von L'Hospital | 306 |
| 2.6 | Integralrechnung | 312 |
| 2.6.1 | Definition des Integrals | 313 |
| 2.6.2 | Eigenschaften des Integrals | 318 |
| 2.6.3 | Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung | 323 |
| 2.6.4 | Rechenregeln zur Integration | 326 |
| 2.6.5 | Numerische Integration | 343 |
| 2.6.6 | Uneigentliche Integrale | 345 |
| 2.6.7 | Volumen und Flächen | 353 |
| 2.7 | Satz von Taylor, Kurvendiskussion und Extremalprobleme | 356 |
| 2.7.1 | Taylor-Summen | 356 |
| 2.7.2 | Kurvendiskussion und Extremalprobleme | 361 |
| 2.8 | Potenzreihen | 372 |
| 2.8.1 | Unendliche Taylor-Summen und Potenzreihen | 372 |
| 2.8.2 | Einschub: Funktionenfolgen* | 376 |
| 2.8.3 | Konvergenz von Potenzreihen | 385 |
| 2.8.4 | Differenziation und Integration von Potenzreihen | 389 |
| 2.8.5 | Der Zusammenhang zwischen Potenzreihen und Taylor-Reihen | 391 |
| 2.8.6 | Die komplexe Exponentialfunktion | 392 |
| 2.9 | Aufgaben | 394 |
| 3 | Lineare Algebra | 401 |
| 3.1 | Vektoren in der Ebene und im Raum | 401 |
| 3.1.1 | Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln | 401 |
| 3.1.2 | Skalarprodukt und Orthogonalität | 409 |
| 3.1.3 | Vektorprodukt und Spatprodukt | 415 |
| 3.1.4 | Anwendungen des Skalar-, Vektor- und Spatprodukts | 420 |
| 3.2 | Analytische Geometrie | 423 |
| 3.2.1 | Geraden in der Ebene und im Raum | 423 |
| 3.2.2 | Ebenen im Raum | 430 |
| 3.3 | Vektorräume | 437 |
| 3.3.1 | Definition des Vektorraums | 437 |
| 3.3.2 | Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension | 444 |
| 3.3.3 | Skalarprodukt und Norm | 453 |
| 3.3.4 | Orthogonalität, Orthogonal- und Orthonormalsysteme | 459 |
| 3.4 | Lineare Abbildungen | 470 |
| 3.4.1 | Lineare Abbildungen und Matrizen | 470 |
| 3.4.2 | Summe, skalares Vielfaches und Verkettung linearer Abbildungen | 475 |
| 3.4.3 | Kern und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz | 478 |
| 3.4.4 | Umkehrabbildung und inverse Matrix | 485 |
| 3.4.5 | Koordinaten-und Basistransformationen * | 487 |
| 3.5 | Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme | 490 |
| 3.5.1 | Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems | 490 |
| 3.5.2 | Berechnung von linearen elektrischen Netzwerken* | 494 |
| 3.6 | Eigenwerte und Eigenvektoren | 503 |
| 3.6.1 | Eigenwerte und Eigenvektoren | 503 |
| 3.6.2 | Diagonalisierung von Matrizen * | 513 |
| 3.6.3 | Hauptvektoren und Jordan-Normalform* | 517 |
| 3.7 | Aufgaben | 521 |
| 4 | Funktionen mit mehreren Variablen | 525 |
| 4.1 | Grenzwerte und Stetigkeit | 528 |
| 4.2 | Ableitungen von reellwertigen Funktionen mit mehreren Variablen | 532 |
| 4.2.1 | Ableitungsbegriffe | 532 |
| 4.2.2 | Höhere Ableitungen | 545 |
| 4.2.3 | Fehlerrechnung* | 548 |
| 4.3 | Extremwertrechnung | 552 |
| 4.3.1 | Lokale und globale Extrema | 552 |
| 4.3.2 | Extrema unter Nebenbedingungen* | 558 |
| 4.4 | Integralrechnung mit mehreren Variablen | 565 |
| 4.4.1 | Integration über mehrdimensionale Intervalle | 565 |
| 4.4.2 | Integration über Normalbereiche | 572 |
| 4.4.3 | Substitutionsregel | 576 |
| 4.4.4 | Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten | 578 |
| 4.5 | Vektoranalysis | 583 |
| 4.5.1 | Vektorfelder | 583 |
| 4.5.2 | Kurven | 584 |
| 4.5.3 | Quellen, Senken und Wirbel in Vektorfeldern | 587 |
| 4.5.4 | Kurvenintegrale | 589 |
| 4.5.5 | Satz von Green * | 597 |
| 4.5.6 | Flächenintegrale* | 599 |
| 4.5.7 | Die Sätze von Gauß und Stokes* | 603 |
| 4.6 | Aufgaben | 610 |
| 5 | Gewöhnliche Differenzialgleichungen | 613 |
| 5.1 | Einführung | 613 |
| 5.1.1 | Beispiele für Differenzialgleichungen aus Physik und Technik | 614 |
| 5.1.2 | Grundbegriffe | 618 |
| 5.1.3 | Konstruktion einer Lösung, Existenz und Eindeutigkeit | 623 |
| 5.1.4 | Iterationsverfahren von Picard und Lindelöf | 626 |
| 5.2 | Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen erster Ordnung | 629 |
| 5.2.1 | Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung | 630 |
| 5.2.2 | Nicht-lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung | 642 |
| 5.3 | Lineare Differenzialgleichungssysteme | 655 |
| 5.3.1 | Motivation: Eine Schaltung mit Induktivitäten | 655 |
| 5.3.2 | Grundbegriffe | 656 |
| 5.3.3 | Homogene Lösungen | 659 |
| 5.3.4 | Partikuläre Lösungen | 664 |
| 5.3.5 | Komplexe und mehrfache Eigenwerte * | 669 |
| 5.4 | Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung | 677 |
| 5.4.1 | Lösung über ein lineares Differenzialgleichungssystem | 677 |
| 5.4.2 | Lösung mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite | 683 |
| 5.4.3 | Schwingungsgleichung* | 688 |
| 5.4.4 | Eine schwingende Saite: Wellengleichung | 694 |
| 5.5 | Aufgaben | 696 |
| 6 | Fourier-Reihen und Integraltransformationen | 699 |
| 6.1 | Fourier-Reihen | 700 |
| 6.1.1 | Fourier-Koeffizienten und Definition der Fourier-Reihe | 701 |
| 6.1.2 | Sinus- und Kosinus-Form der Fourier-Reihe | 707 |
| 6.1.3 | Komplexwertige Funktionen und Fourier-Koeffizienten | 709 |
| 6.1.4 | Faltung | 716 |
| 6.1.5 | Konvergenz von Fourier-Reihen * | 724 |
| 6.1.6 | Gibbs-Phänomen | 734 |
| 6.1.7 | Entwicklung 2p-periodischer Funktionen | 739 |
| 6.2 | Fourier-Transformation | 740 |
| 6.2.1 | Fourier-Integral | 740 |
| 6.2.2 | Fourier-Umkehrtransformation | 744 |
| 6.2.3 | Fourier-Koeffizienten und Fourier-Transformation | 746 |
| 6.2.4 | Eigenschaften der Fourier-Transformation | 748 |
| 6.2.5 | Faltung | 753 |
| 6.3 | Laplace-Transformation | 758 |
| 6.3.1 | Von der Fourier-zur Laplace-Transformation | 758 |
| 6.3.2 | Rechnen mit der Laplace-Transformation | 762 |
| 6.3.3 | Laplace-Transformation in der Systemtheorie * | 773 |
| 6.4 | Diskrete Fourier-Transformation | 782 |
| 6.4.1 | Ausgangspunkt: Koeffizienten einer Fourier-Reihe | 785 |
| 6.4.2 | Diskrete Fourier-Transformation | 787 |
| 6.4.3 | Diskrete Faltung* | 796 |
| 6.4.4 | FFT-Algorithmus | 800 |
| 6.4.5 | Numerische Berechnung von Fourier-Koeffizienten | 805 |
| 6.4.6 | Abtastsatz für trigonometrische Polynome | 807 |
| 6.4.7 | Leck-Effekt (Leakage) * | 814 |
| 6.4.8 | Numerische Berechnung der Fourier-Transformation | 815 |
| 6.4.9 | Abtastsatz der Fourier-Transformation | 817 |
| 6.4.10 | Leck-Effekt und Fensterfunktionen* | 826 |
| 6.4.11 | Zusammenfassung | 828 |
| 6.5 | Aufgaben | 829 |
| 7 | Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik | 833 |
| 7.1 | Beschreibende Statistik | 834 |
| 7.1.1 | Grundbegriffe | 834 |
| 7.1.2 | Empirische Verteilungsfunktionen | 839 |
| 7.1.3 | Lageparameter | 841 |
| 7.1.4 | Streuungsparameter | 846 |
| 7.1.5 | Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen und Korrelation | 848 |
| 7.1.6 | Lineare Regressionsrechnung | 852 |
| 7.2 | Wahrscheinlichkeitsrechnung | 857 |
| 7.2.1 | Zufallsexperimente und Ereignisse | 857 |
| 7.2.2 | Wahrscheinlichkeit und Satz von Laplace | 859 |
| 7.2.3 | Kombinatorik | 863 |
| 7.2.4 | Unabhängige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten | 868 |
| 7.2.5 | Zufallsvariablen | 876 |
| 7.2.6 | Lage- und Streuungsparameter von Zufallsvariablen | 888 |
| 7.2.7 | Gesetz der großen Zahlen | 898 |
| 7.2.8 | Zentraler Grenzwertsatz | 902 |
| 7.3 | Schließende Statistik | 909 |
| 7.3.1 | Punktschätzungen | 910 |
| 7.3.2 | Begriffe der Fehlerrechnung* | 914 |
| 7.3.3 | Intervallschätzungen | 916 |
| 7.3.4 | Hypothesentests | 924 |
| 7.4 | Aufgaben | 929 |
| Literaturverzeichnis | 935 | |
| Index | 939 | |
A
Abbildung, 8
Abel'sche Gruppe, 45
abgeleitete Funktion, 284
abgeschlossen, 248
abgeschlossenes Intervall, 50
Ableitung, 279, 284
absolut konvergent, 235
absoluter Fehler, 297
Abstand, 457
Abszisse, 77
Abtastfrequenz, 818
Abtastsatz, 817
abzählbar, 39
Additionstheoreme, 118
Additivität, 454, 471
Additivität in beiden Argumenten, 456
Adjungierte, 172
adjungierte Matrix, 172
ähnlich, 489
affin-lineare Funktion, 77
Aktivierungsfunktion, 540
algebraische Gleichungen, 71
algebraischen Funktionen, 100
Aliasing, 810
Allmenge, 5
Allquantor, 21
alternierende harmonische Reihe, 232
alternierenden Folge, 205
Amplitude, 121
Amplitudengang, 776
Amplitudenspektrum, 707, 742
analytisch, 393
Analytische Geometrie, 423
Anfangsbedingung, 621, 657
Anfangspunkt, 584
Anfangswertproblem, 615, 621, 657
Anfangswertsatz, 771
Ansatz vom Typ der rechten Seite, 638
Ansatzfunktionen, 628
Anti-Kommutativgesetz, 417
Antisymmetrie, 27
Apfelmännchen, 207
Approximation, 51
Approximationstheorie, 827
Äquivalenz, 20
Arbeit, 409
Arbeitspunkt, 296
Area-Kosinushyperbolikus, 130
Area-Kotangenshyperbolikus, 130
Area-Sinushyperbolikus, 129
Area-Tangenshyperbolikus, 130
Argument, 8
arithmetische Folge, 205
arithmetisches Mittel, 68, 841
Arkus-Funktionen, 124
Arkuskosinus, 125
Arkussinus, 125
Arkustangens, 125
assoziativ, 403, 438
Assoziativgesetz, 44
Assoziativgesetze, 6, 14, 403
Asymptote, 367
auf, 10
Aufpunkt, 430
aufspannen, 442
Aussage, 12
Aussageform, 18
aussagenlogische Formeln, 13
äußeres Produkt, 416
Austauschsatz, 450
Axiome, 23
B
Balkendiagramm, 837
Banach'scher Fixpunktsatz, 304
bandbegrenzt, 817
Bandmatrizen, 175
Bar Chart, 837
Barometrische Höhenformel, 106
B art lett-Fenster, 827
Basis, 36, 448
Basismatrix, 487
Basistransformation, 487
Baum, 496
bedingte Wahrscheinlichkeit, 869
benachbart, 496
Bernoulli'sche Ungleichung, 67
Bernoulli-Differenzialgleichung, 649
beschränkt, 82, 206
beschränkt nach oben, 46, 82, 205
beschränkt nach unten, 47, 82, 205
beschreibende Statistik, 833
Bessel'sche Ungleichung, 715
bestimmt divergent, 221, 231, 251, 255
Betrag, 64, 134, 401, 407, 457
Betragsfunktion, 88
Betragsgleichungen, 72
Betragsungleichung, 75
Beweis, 23
Beweis durch Widerspruch, 23
bijektiv, 10
Bild, 8, 478
bimodale Verteilung, 845
Binet-Formel, 516
Binomialkoeffizient, 33
binomialverteilt, 885
S. Goebbels and S. Ritter, Mathematik verstehen und anwenden - von den
Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation,
DOI: 10.1007/978-3-8274-3008-3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
