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Wiley VCH Verlag Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| Über den Autor | 9 | |
| Danksagung | 9 | |
| Einleitung | 17 | |
| Zu diesem Buch | 17 | |
| Konventionen in diesem Buch | 18 | |
| Törichte Annahmen über den Leser | 18 | |
| Wie dieses Buch aufgebaut ist | 18 | |
| Teil I: Grundlegende lineare Algebra | 19 | |
| Teil II: Viel mehr lineare Algebra | 19 | |
| Teil III: Eindimensionale Analysis | 19 | |
| Teil IV: Der Top-Ten-Teil | 20 | |
| Symbole in diesem Buch | 20 | |
| Wie es weitergeht | 21 | |
| Teil | 1 | |
| Grundlegende lineare Algebra | 23 | |
| Kapitel | 1 | |
| Die Grundlagen der Mathematik: Logik, Mengen und Zahlen | 25 | |
| Aussagenlogik - die Sprache der Mathematik verstehen | 25 | |
| Wörter erfinden: die Definition | 26 | |
| Wörter verbinden: die Aussage | 27 | |
| Rasiermesserscharfe Logik - eine Basis für alle Mathematik | 27 | |
| Logisch schreiben: Symbole, Symbole | 29 | |
| Mengen und Relationen | 29 | |
| Eine Menge Mengen | 30 | |
| Verbundmengen | 33 | |
| Zahlen, Zahlen, noch mehr Zahlen | 33 | |
| Mit Hilfe der Logik zählen lernen | 34 | |
| Die Sache mit den Schulden - Negative Zahlen | 36 | |
| Die ganzen Zahlen zerbrechen - Rationale Zahlen | 36 | |
| Da fehlt doch was - Reelle Zahlen | 37 | |
| Komplex muss nicht kompliziert sein - komplexe Zahlen | 40 | |
| Eine Wurzel aus -1: Die komplexen Zahlen entstehen | 41 | |
| Rechnen mit komplexen Zahlen | 43 | |
| Mathematik für Ingenieure I für Dummies | ||
| Polarkoordinaten | 46 | |
| Komplexes Potenzieren und Wurzelziehen | 48 | |
| Kapitel | 2 | |
| Von Vektoren und Matrizen | 51 | |
| Vektorräume | 51 | |
| Mehr als Pfeile | 52 | |
| Weitere Vektorräume entdecken | 54 | |
| Vektorrechnung mit octave | 57 | |
| Sind sie abhängig? | 60 | |
| Eine Basis eröffnet die Dimensionen | 63 | |
| Skalarprodukte und Normen: Längenmessung! | 64 | |
| Lineare Abbildungen | 70 | |
| Ganz einfach linear! Eine formale Definition der linearen Abbildung | 70 | |
| Dies also ist der Abbildung Kern | 72 | |
| Lineare Abbildungen und Spaltenvektoren | 74 | |
| Mehrspaltiges: Matrizen | 76 | |
| Zeilen zuerst, Spalten später | 76 | |
| Matrizenräume sind Vektorräume | 78 | |
| Matrixalgebra - mancherlei Matrizen multiplizieren | 78 | |
| Matrizen sind - lineare Abbildungen! | 85 | |
| Kapitel | 3 | |
| Lineare Gleichungssysteme | 89 | |
| Matrizen und lineare Gleichungssysteme | 89 | |
| Für Schreibfaule - kurz und knapp mit Matrizen | 90 | |
| Ja, geht das denn? Die Kerne kehren zurück | 91 | |
| Matrizenadel: Von Zeilen- und Spaltenrang | 93 | |
| Ja, das geht! Der Rang macht's möglich: Lösbarkeit | 98 | |
| Determinanten bestimmen zur Lösung linearer Gleichungssysteme | 100 | |
| Bäumchen wechsle dich oder Permutationen | 100 | |
| Igitt! Determinanten | 103 | |
| Nicht gar so eklig: Rekursiv geht's gut! | 104 | |
| Rechnen mit Determinanten und nochmal: Lösbarkeit von | ||
| Gleichungssystemen | 108 | |
| Inverse Matrix - Kehrwerte bei Matrizen | 110 | |
| Gauß-Algorithmus: Im Halbschlaf Gleichungssysteme lösen | 115 | |
| Gestaffelt ist's einfach - Rückwärtslösen | 115 | |
| Endlich konkret: das Eliminationsverfahren | 117 | |
| Abhängige Spalten, was nun? | 121 | |
| Aufwand für Gauß und Cramer | 124 | |
| Nicht nur einzelne Gleichungssysteme: Berechnung der Inversen | 5 | |
| Teil | Ii | |
| Viel mehr lineare Algebra 13 / | ||
| Kapitel h | ||
| Eigenwerte und EigenVektoren | 133 | |
| Das Eigenwertproblem - kein Minderwertigkeitskomplex | 133 | |
| Ganz charakteristisch, die Gleichung | 135 | |
| Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms | 136 | |
| Ganz allein meine! Berechnung der Eigenvektoren | 138 | |
| Einige Eigenschaften von Eigenwerten | 141 | |
| Ein Platz für die Eigenvektoren: der Eigenraum | 143 | |
| Eigenwerte von Dreiecks- und Diagonalmatrizen | 145 | |
| Ähnliche Matrizen | 146 | |
| Diagonalähnliche Matrizen | 147 | |
| Symmetrische und hermitesche Matrizen | 149 | |
| Symmetrische Matrizen | 150 | |
| Orthonormierte Eigenvektoren | 153 | |
| Orthogonalmatrizen | 154 | |
| Symmetrische und orthogonale Matrizen | 156 | |
| Kapitel | 5 | |
| Quadratische Formen und Ausgleichsrechnung | 157 | |
| Ellipsengleichungen und quadratische Formen | 157 | |
| Basiswechsel | 160 | |
| Hauptachsentransformation | 161 | |
| Der Physik auf der Spur: Lineare Ausgleichsrechnung | 163 | |
| Orthogonalität | 165 | |
| Orthogonalprojektion | 166 | |
| Ausgleichsrechnung praktisch | 167 | |
| Kapitel | 6 | |
| Ein Wenig Dreidimensionales | 173 | |
| Nicht nur für Piloten: Orientierung in 3D | 173 | |
| Oben und unten - Ebenen unterteilen den Raum | 173 | |
| Das Vektorprodukt | 176 | |
| Mathematik für Ingenieure I für Dummies | ||
| Teil | III | |
| Eindimensionale Anatysis | 183 | |
| Kapitel | 7 | |
| Folgen und Grenzwerte | 185 | |
| Räume mit Abstand | 185 | |
| Topologie: die Frage nach den nachbarschaftlichen Beziehungen | 185 | |
| Rand- und innere Punkte | 189 | |
| Häufungspunkte | 192 | |
| Folgen | 195 | |
| Grenzwerte von Folgen | 198 | |
| Cauchy-Folgen | 200 | |
| Auf dem Weg zur Analysis: Reelle Zahlenfolgen | 203 | |
| Mit den Folgen rechnen | 204 | |
| Kapitel | 8 | |
| Stetigkeit | 209 | |
| Grenzwerte reellwertiger Funktionen | 209 | |
| Rechenregeln für Grenzwerte einer Funktion | 212 | |
| Springen oder nicht springen: Stetigkeit | 214 | |
| Ohne abzusetzen oder e-S: Stetigkeitsdefinitionen | 215 | |
| Rechenregeln für stetige Funktionen | 216 | |
| Eigenschaften stetiger Funktionen | 217 | |
| Kapitel | 9 | |
| Differentialrechnung | 221 | |
| Die Ableitung | 221 | |
| Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten | 221 | |
| Und geometrisch ist das auch! | 224 | |
| Vorsicht: Nicht knicken! Differenzieren und Stetigkeit | 225 | |
| Die Ableitung regeln | 228 | |
| Ableitungsketten - verschachtelte Funktionen | 231 | |
| Haufenweise Beispiele zur Kettenregel | 232 | |
| Ableitung von Umkehrfunktionen | 236 | |
| Wiederholtes Differenzieren: Höhere Ableitungen | 238 | |
| Play it again, Sam! Ableitungen ableiten | 238 | |
| Funktionen vom Feinsten - stetige Differenzierbarkeit | 240 | |
| Ganz oben und ganz unten - Maxima und Minima | 242 | |
| Globale und lokale Extremstellen | 242 | |
| Bestimmung von Extremstellen | 243 | |
| Der Mittelwertsatz - gerade mit krumm vergleichen | 245 | |
| Ein Extremum muss sein: der Satz von Rolle | 246 | |
| Schief geht es auch: der Mittelwertsatz | 247 | |
| Grenzwerte ableiten und die Regeln von de l'Hospital | 248 | |
| Kurvendiskussion | 252 | |
| Kapitel | 10 | |
| Bestimmte, unbestimmte und uneigentliche Integrale | 261 | |
| Ein bestimmtes Integral | 261 | |
| Krummlinige Flächen berechnen | 262 | |
| Einfache Rechenregeln für bestimmte Integrale | 267 | |
| Und jetzt umgekehrt: Stammfunktionen | 270 | |
| Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | 271 | |
| Das unbestimmte Integral | 274 | |
| Alle meine Stammfunktionen | 274 | |
| Nicht auf Sand gebaut: Grundintegrale | 277 | |
| Was ist eigentlich ein uneigentliches Integral? | 278 | |
| Die Sache mit den Randpunkten | 278 | |
| Und wieder einmal: Grenzwerte | 280 | |
| Vergleichskriterien | 281 | |
| Parameterintegrale | 285 | |
| Eigenschaften eigentlicher Parameterintegrale | 285 | |
| Variable Integrationsgrenzen | 287 | |
| Uneigentliche Parameterintegrale | 289 | |
| Kapitel | 11 | |
| Differenzieren ist Handu/erk - Integrieren eine Kunstf | 291 | |
| Scheibchenweise integrieren: Partielle Integration | 291 | |
| Hier hilft die Produktregel | 291 | |
| Unbestimmt: Partielle Integration zur Bestimmung von Stammfunktionen | 292 | |
| Und bestimmt! Partielle Integration bei bestimmten Integralen | 295 | |
| Die Schwierigkeiten verstecken: Substitution | 297 | |
| Hin- und hersubstituieren | 298 | |
| Sinus- und Kosinusintegrale | 299 | |
| Und noch eine Variante der Substitution | 301 | |
| Partialbruchzerlegung - Integrale rationaler Funktionen | 303 | |
| Zerlegung in einfache Brüche | 304 | |
| Zwei Sorten Partialbrüche bleiben übrig | 305 | |
| Partialbruchzerlegung bei unbestimmter Integration | 310 | |
| Mathematik für Ingenieure I für Dummies | ||
| Kapitel | 12 | |
| Reihen | 313 | |
| Immer längere Summen: Unendliche Reihen | 313 | |
| Bausteine stapeln oder Schildkrötenrennen | 314 | |
| Alternierende Reihen: Schritt vor, Schritt zurück | 321 | |
| Absolute Konvergenz? Unbedingt! | 321 | |
| Wann konvergiert's? - Cauchy, Leibniz und Co | 325 | |
| Potenzreihen | 330 | |
| Potenzreihen oder unendlich lange Polynome | 330 | |
| Wo konvergiert's denn? | 331 | |
| Was ist das denn? Eine Funktion! | 334 | |
| Differentiation und Integration von Potenzreihen - Stück für Stück | 339 | |
| Taylorreihen | 342 | |
| Funktionen ertasten: Approximation durch Polynome | 343 | |
| Den Spieß umdrehen - Funktionen als Reihe | 344 | |
| Des Schneiders Trickkiste: Taylorentwicklung für Dummies | 350 | |
| Ted W | ||
| ber Top-Ten-Teil | 353 | |
| Kapitel | 13 | |
| Zehn Dos and Don'ts der linearen Algehra | 355 | |
| Kapitel U | ||
| Zehn nichtige Punkte in der Anatgsis | 359 | |
| Kapitel | 15 | |
| Wie man einen Mathekurs erfolgreich überlebt | 363 | |
| Mathematik und Psychologie | 363 | |
| Nicht locker lassen! | 364 | |
| Glauben Sie nichts! | 365 | |
| Üben Sie! Üben Sie! | 366 | |
| AnhangA | ||
| Lösungen der Aufgaben 36 | 7 | |
| 383 | ||
| Stichwortverzeichnis | ||
A
abgeschlossenes Intervall 217
Ableitung 222
n-te Ableitung 239
Definition 223
der trigonometrischen Funktionen 231
der Umkehrfunktion 237
geometrische Bedeutung 225
Kettenregel 231
Leibniz-Regel 239
physikalische Bedeutung 225
Produktregel 228
Quotientenregel 228
Summenregel 228
zweite Ableitung 238
absolut konvergent 322
Abstand 187
Additionstheorem 229, 300
algebraisch abgeschlossen 42
antikommutativ 178
Argument 47
assoziativ 38
Aussage 27
Aussagenlogik 25
B
Banachraum 200
Basis 63
kartesische 175, 178
Betrag
einer komplexen Zahl 44
Beweis direkte 27
indirekte 27
über Induktion 28
Widerspruchsbeweis 28
Bild 73
bilinear 67, 178
Bilinearform 69
Binomialkoeffizienten 239
c
Cauchy-Eigenschaft 325
Cauchy-Kriterium 325
Cauchy-Schwarz-Ungleichung 69, 179
charakteristische Gleichung 136
charakteristisches Polynom 136
z>
de l'Hospital 249
Definition 26
Determinante 100, 103
Laplace'scher Entwicklungssatz 105
Regel von Sarrus 103
diagonalähnlich 146
Differentialquotient 222
Differenzenquotient 222
differenzierbar
stetig differenzierbar 239
Dimension
Vektorraum 63
Distributivgesetz 38
Drehstreckung 49
Drehung 72, 155
Dreiecksungleichung 65
£
Eigenraum 143
Eigenvektor 134
Berechnung 138
Eigenwert 134
Eigenwertgleichung 135
Eigenwertproblem 134
Einheitsvektor 68
Einschnürungssatz 206
Element
allgemeines 31
einer Menge 30
Symbol 31
Erzeugendensystem 63
Euler'sche Formel 48
Mathematik für Ingenieure I für Dummies
Exponentialfunktion Ableitung 234
Definition 207, 234
Exponentialreihe 234, 334
komplexe Exponentialfunktion 48
Extremstelle 242
F
fast alle 327
Flächeninhalt 264
Folge 195
beschränkte Folge 201
Cauchy-Folge 200, 325
divergente Folge 198
geometrische Folge 203
konvergente Folge 198
Limes Inferior 202
Limes Superior 202, 331
monotone Folge 207
Nullfolge 203
reelle Zahlenfolge 196
Teilfolge 196
uneigentlich konvergente Folge 203
Fubini
Satz von Fubini 287
Funktion
beschränkte Funktion 217
differenzierbare Funktion 222
gerade Funktion 349
gleichmäßig stetige Funktion 218
Grenzwert 210
rationale Funktion 304
stetige Funktion 214
ungerade Funktion 349
G
Gammafunktion 284
glatte Funktion 241, 340
Gram-Schmidt-Verfahren 171
Grenzwert 198
eigentlicher Grenzwert 222
einer Funktion 210
uneigentlicher Grenzwert 203
Größter Gemeinsamer Teiler 37
H
Häufungspunkt 192, 210
uneigentlicher Häufungspunkt 194
Häufungswert 192
Hauptachsensystem 161
Hauptachsentransformation 161
Hauptsatz der Differential- und Integralrech- nung 271
Imaginärteil 43-45, 355
Infimum 40
innerer Punkt 190
Integral
bestimmtes Integral 264
Grundintegrale 277
Parameterintegral 285
Riemannintegral 264
unbestimmtes Integral 274
uneigentliches Integral 280
Integrand 261
Integration
Partialbruchzerlegung 304
partielle Integration 292
Produktintegration 292
Substitution 297, 301
Integrationskonstante 273
Integrationsvariable 264
integrierbar 264
uneigentlich integrierbar 280
K
Körper 38, 52
Körperaxiome 38
kartesisches Produkt 33, 42
Kern 73
kommutativ 38
Komplement 33
Kongruenzabbildung 155
Konjugierte 44
konkav 255
Konvergenzradius 332
konvex 255
Kreuzprodukt 176
kritischer Punkt 244
Kronecker-Symbol 81
Kurvendiskussion 252, 259
Stichu/orti/erzeicbnis
L
Limes 198
linear
abhängig 61
unabhängig 60
lineare Abbildung 70
Bild 73
Drehung 72
explizite Beschreibung 75
Kern 73
Komposition 73
Projektion 72
Spiegelung 71
lineare Gleichungssystem
Lösungsmenge 93
lineares Ausgleichsproblem 164
lineares Gleichungssystem 90
erweiterte Systemmatrix 98
homogen 92
inhomogen 92
Lösungsmenge 92
Linearfaktorzerlegung 46
Linearkombination 60
Logik 28
M
Matrix 76
adjungierte 82
Adjunkte 112
ähnliche Matrizen 146
Cramer'sche Regel 113
Definitheit 168
Einheitsmatrix 81
elementare Spaltenumformung 96
elementare Zeilenumformung 96
Gram'sche Matrix 167
hermitesche 83, 149
Inverse 110
Koeffizienten einer Matrix 76
Matrixpotenzen 84
Matrizenprodukt 78
Modalmatrix 148, 159
orthogonale 154
Rang 93
reguläre 109
singuläre 109
Spaltenindex 76
Spaltenvektoren einer Matrix 76
Spur 141
symmetrische 83, 149, 156, 168
transponierte 81, 154
Untermatrix 105
Zeilenindex 76
Zeilenvektoren einer Matrix 76
Maximalstelle 218, 242
Maximum 218
globales 242
lokales 242
Menge
abgeschlossen 191
Abschluss 190
bösartige 29
beschränkte Menge 194
implizite Beschreibung 31
Inneres einer Menge 190
klassische Definition 30
kompakte 195
offen 191
Rand einer Menge 190
Schreibweise 30
Teilmenge 32
Metrik 187
metrischer Raum 187
Minimalstelle 218, 242
Minimum 218
globales 242
lokales 242
Mittelwertsatz 247
der Integralrechnung 269
verallgemeinerter Mittelwertsatz 248
Modalmatrix 148, 159
Monom 213, 223
Monotonie 253
N
Nachdifferenzieren 232
Norm 65, 186
äquivalente Normen 189
Euklidische 65
Normalform 42, 48
einer Ellipse 157
Normalgleichungen 168
Mathematik für Ingenieure I für Dummies
0
octave
Ausgleichsrechnung 172
Backslash-Befehl 123, 172
Determinantenberechnung 109
Eigenvektoren 140
Eigenwertberechnung 137
geometrische Reihen 317
graphische Ausgabe 211,318
harmonische Reihe 320
inverse Matrix 114
LGS lösen 122
Matrixpotenzen 84
Matrizen 79
Matrizenalgebra 79
Matrizenprodukt 79
Normen 66
Plotbefehl 318
Q-R-Zerlegung 171
Rang einer Matrix 95
Spaltenvektoren 57
Spatprodukt 181
Vektorprodukt 181
Vektorrechnung 57
Zeilenvektoren 58
Ordnungsaxiome 39
Orientierung 175
einer Basis 174
orthogonal 68, 165
Orthogonalmatrizen 154, 156
Orthogonalprojektion 166
Orthonormalbasis 68
aus Eigenvektoren 153
Orthonormalsystem 68
p
Parameterintegral 285
mit variablen Grenzen 287
Partialsumme 313
Peano'sche Axiome 34
Permutation 101
Fehlstand 101
Signum 102
Vertauschung 102
Pivotsuche 129
Gesamtpivotsuche 129
Spaltenpivotsuche 129
Zeilenpivotsuche 129
Polardarstellung 48
Polarkoordinaten 47
Polynomdivision 309
positiv définit 67
Potenzreihe 330
Ableitung 339
Identitätssatz 338
Integral 341
Konvergenzbereich 331
Konvergenzradius 332
Produktreihe 336, 351
Summenfunktion 334
Projektion 72
Q
Q-R-Zerlegung 169
quadratische Form 158
R
Randpunkt 190
Realteil 43
reelle Zahlen 37
Regel von de l'Hospital 249, 259
Reihe 313
absolute Konvergenz 329
alternierende Reihe 321
Cauchy-Produkt 324
Cauchy-Reihe 326
geometrische Reihe 315, 335
harmonische Reihe 319, 321
Konvergenz einer Reihe 314
Kriterium von Raabe 329
Leibniz-Kriterium 321
Maj orante 327
Majorantenkriterium 327
Minorante 328
Minorantenkriterium 328
Produktreihe 324
Quotientenkriterium 328
Summe einer Reihe 314
Wurzelkriterium 329
Reihenentwicklung 330, 331
Relation 29
Russel'sche Antinomie 30
S
Sattelpunkt 257
Satz von Bolzano-Weierstraß 195
Satz von Rolle 246
Schranke obere 39
untere 40
Sesquilinearform 69
Signumfunktion 211
Skalar 52
skalare Multiplikation 53
Skalarprodukt 66, 67
Spaltenvektor 55
Spatprodukt 180
Spiegelung 71, 155
Spur 141
Stammfunktion 270
Standardskalarprodukt komplexes 69
reelles 66
stationärer Punkt 244
Stetigkeit 214
e-^-Definition der Stetigkeit 215
gleichmäßige Stetigkeit 218
Summenformel von de Moivre 48
Supremum 40
Symbol
logisches 29
System
von Vektoren 60
T
Taylorpolynom 343
Taylorreihe 345
Restglied 343
Taylorpolynom 343
Teilmenge 32
beschränkte 39
total geordnet 39
transitiv 39
Trichotomie 39
u
Umgebung 188
e-Umgebung 187, 243
Umkehrfunktion 236
Untervektorraum 63
V
Vektor 52
orthogonale Vektoren 165
Vektoraddition 52
Vektorprodukt 176
Vektorraum 51
Untervektorraum 63
Verbundmenge 33
Differenz 33
Durchschnitt 33
kartesisches Produkt 33
Komplement 33
Vereinigung 33
Vergleichskriterium 327
Vielfachheit
algebraische 137
geometrische 143
Vollständigkeitsaxiom 39
w
Weierstraß-Funktion 227
Wendepunkt 257
Winkel 66
zwischen Vektoren 67
z
Zahlen ganze 36
komplexe 41, 43
konjugiert komplexe 44
natürliche 34
rationale 37
reelle 37
Zahlenebene 42
Zahlengerade 40
erweiterte Zahlengerade 194
Zeilenumformungen einer Matrix 96
Zeilenvektor 56
Zerlegung 263
Zwischenwertsatz 219
