Artikel werden geladen
Autoren:
Verlag:
Wiley-VCH Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| Einleitung | ||
| Konventionen in diesem Buch | ||
| Törichte Annahmen über den Leser | ||
| Was Sie in diesem Buch finden | ||
| Was Sie in diesem Buch nicht finden | ||
| Wie dieses Buch aufgebaut ist | ||
| Teil I: Einführung | ||
| Teil II: Vektorrechnung | ||
| Teil III: Matrizen | ||
| Teil IV: Lineare Gleichungssysteme | ||
| Teil V: Der Top-Ten-Teil | ||
| Spickzettel | ||
| Symbole, die in diesem Buch verwendet werden | ||
| Wie es weitergeht | ||
| Teil | I | |
| Einführung | ||
| Kapitel | 1 | |
| Motivation | ||
| Gestatten: Die Familie der Vektoren, Matrizen und linearen | ||
| Gleichungssysteme | ||
| Vektoren in Theorie und Praxis | ||
| Matrizen in Schule, Studium und Beruf | ||
| Wie Matrizen behandelt werden wollen und wie sie einem behilflich sind | ||
| Kapitel | 2 | |
| Vektorrechnung | ||
| Was war zuerst da: der Vektor oder der Pfeil? | ||
| Voll konkret: explizite Schreibweise und Komponenten eines Vektors | ||
| Der Betrag eines Vektors | ||
| Beispiele | ||
| Einheitsvektoren - Voll normal! | ||
| Rechnen mit Vektoren | ||
| Addition und Subtraktion von Vektoren | ||
| Multiplikation von Vektoren mit Zahlen | ||
| Vektor- und Matrizenrechnung für bummies | ||
| Linearkombination von Vektoren als »Pfeile« | 47 | |
| Differenzvektoren | 48 | |
| Vektoren in der analytischen Geometrie | 49 | |
| Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks | 49 | |
| Zum Halten von Lasten | 51 | |
| Kapitel | 3 | |
| Matrizen | 55 | |
| Definition und Form von Matrizen | 55 | |
| Rechnen mit Matrizen - mehr als nur ein Haufen Zahlen! | 57 | |
| Addition und Subtraktion von Matrizen | 57 | |
| Multiplikation von Matrizen | 58 | |
| Invertieren von Matrizen | 60 | |
| So sieht sich eine Matrix im Spiegel | 60 | |
| Der Stammbaum der Matrizen | 63 | |
| Reelle und komplexe Matrizen | 63 | |
| Quadratische und nicht-quadratische Matrizen | 64 | |
| Reguläre und singulare Matrizen | 64 | |
| Symmetrische und hermitesche Matrizen | 64 | |
| Orthogonale und unitäre Matrizen | 66 | |
| Dreiecksmatrizen | 67 | |
| Noch speziellere Matrizen | 68 | |
| Matrizen bei der Arbeit | 68 | |
| Determinante und Umkehrbarkeit von Transformationen | 71 | |
| Eigenwerte, Eigenvektoren und das Diagonalisieren von Matrizen | 71 | |
| Kapitel h | ||
| Lösen öon linearen Gleichungssystemen | 73 | |
| Matrixschreibweise für lineare Gleichungssysteme | 73 | |
| Links- und Rechtsmultiplikation sind zweierlei! | 77 | |
| Umformen der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems | 81 | |
| Teil | II | |
| Vektorrechnung | 83 | |
| Kapitel | 5 | |
| Vektor mal Vektor = >>> | 85 | |
| Skalarprodukt: Vektor mal Vektor gleich Zahl | 85 | |
| Definition und Schreibweisen | 85 | |
| Wissenswertes zum Skalarprodukt: kurz und knapp | 86 | |
| Geometrische Bedeutung - endlich wird es anschaulich! | 88 | |
| Wie berechnet man das Skalarprodukt konkret? | 91 | |
| Kreuzprodukt: Vektor mal Vektor gleich Vektor | 94 | |
| Definition und Schreibweise | 94 | |
| Nützliches zum Vektorprodukt: wieder kurz und knapp | 94 | |
| Geometrische Bedeutung - endlich wird's wieder anschaulich! | 95 | |
| Wie rechnet man das Kreuzprodukt konkret aus? | 96 | |
| Das Spatprodukt - und was ist bitte ein Parallelepiped? | 100 | |
| Dyadisches Produkt: Vektor mal Vektor gleich Matrix | 102 | |
| Definition und Schreibweise | 102 | |
| Dyadisches Produkt zweidimensionaler orthogonaler Einheitsvektoren | 102 | |
| Dyadisches Produkt von orthogonalen Einheitsvektoren | ||
| in drei Dimensionen | 103 | |
| Kapitel | 6 | |
| Die Welt der Mathematik besteht aus Vektoren | 105 | |
| Unser Koordinatensystem ist das Gerüst der Vektor-Welt | 105 | |
| Kartesische Koordinatensysteme - hier steht alles senkrecht! | 105 | |
| Beispiele für kartesische Koordinatensysteme | 106 | |
| Polarkoordinaten - krumme Linien in der Ebene?! | 109 | |
| Zylinderkoordinaten - Hut ab für die dritte Dimension! | 115 | |
| Kugelkoordinaten - eine runde Sache | 118 | |
| Basis und Basistransformationen: Wir wechseln den Blickwinkel! | 122 | |
| Unter der Lupe: Was versteht man unter einer Basis? | 122 | |
| Beispiele für Basen | 124 | |
| Basistransformationen - aus Alt mach Neu | 125 | |
| Jetzt geht's rund - wir drehen die Basis! | 127 | |
| Kapitel | 7 | |
| Analytische Geometrie - mehr als nur ein paar Bauklötze! | 135 | |
| Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren | 135 | |
| Der Vektorzug fährt ein | 135 | |
| Parallele und antiparallele Vektoren | 136 | |
| Anwendungsaufgabe zur linearen Abhängigkeit von Vektoren | 137 | |
| Darstellung von Geraden und Ebenen | 139 | |
| Parameterdarstellung: Jetzt kommen die Vektoren zum Zug! | 139 | |
| Normalenform: Der senkrechte Vektor zeigt, wo es lang geht! | 142 | |
| Zusammenfassung | 144 | |
| Der Klassiker: Schnitte und Abstände von Geraden und Ebenen | 144 | |
| Schnitte von Geraden mit Ebenen | 144 | |
| Abstand zwischen Ebene und einer parallelen Gerade | 146 | |
| Schnitt zweier Ebenen in Parameterdarstellung | 147 | |
| Schnitt einer Ebene in Parameterdarstellung und einer Ebene | ||
| in Normalenform | 148 | |
| Bestimmung des Abstands zweier paralleler Ebenen | 149 | |
| Parallele und windschiefe Geraden | 151 | |
| Vektor- und Matrizenrechnunq für öummies | ||
| Wir verlassen das Flachland und bauen Körper aus Ebenen | 155 | |
| Eine Pralinenschachtel in der Vektorrechnung | 155 | |
| Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 1: | ||
| Wir bauen uns einen Tetraeder | 157 | |
| Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 2: | ||
| Wie viel Farbe benötigt man, um einen Dodekaeder anzumalen? | 160 | |
| Die Sache kommt ins Rollen: Kugeln in der Vektorrechnung | 166 | |
| Die Kugelgleichung | 166 | |
| Tangentialebenen | 167 | |
| Schnitt von Kugeln mit Ebenen | 168 | |
| Kapitel | 8 | |
| Funktionenräume | 171 | |
| Können Funktionen Vektoren sein? | 171 | |
| Ein Skalarprodukt für Funktionen | 173 | |
| Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funktionen | 174 | |
| Funktionen machen es den Vektoren im Anschauungsraum nach | 174 | |
| Der Funktionenraum der Polynome | 175 | |
| Monome als Bausteine von Polynomen | 175 | |
| Orthogonale Funktionen - was bedeutet das? | 175 | |
| Trigonometrische Funktionen | 177 | |
| Auf der Suche nach einer Basis | 177 | |
| Ran ans Werk: Das Skalarprodukt trigonometrischer Funktionen | 178 | |
| Die Fourierreihe - wir bringen Funktionen zum Schwingen | 179 | |
| So macht man aus unstetigen Funktionen stetige | 180 | |
| Teil | III | |
| Matrizen | 183 | |
| Kapitel | 9 | |
| Rechenreqeln | 185 | |
| Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetz für die Addition | 185 | |
| Addition, Subtraktion und Multiplikation in Aktion | 187 | |
| Division durch Bildung der Inversen | 189 | |
| Lineare Abbildungen, Kern und Bild | 190 | |
| Basistransformationen von Vektoren mittels Matrizen | 190 | |
| Einführung in lineare Abbildungen und deren Basiswechsel | 191 | |
| u | ||
| Kapitel | 10 | |
| Determinanten | 199 | |
| Verfahren nach Leibniz | 199 | |
| Permutationen - da haben wir den (Zahlen)salat! | 199 | |
| Die Determinantenformel | 202 | |
| Schachbrettregel und Unterdeterminanten | 205 | |
| Entwicklung nach Zeilen oder Spalten | 207 | |
| Spezialfall: (2 x 2)-Matrizen | 211 | |
| Spezialfall: (3 x 3)-Matrizen und Sarrussche Regel | 211 | |
| Rechenregeln für Determinanten | 213 | |
| Anwendung: Berechnung des Kreuzprodukts mit der Determinante | 214 | |
| Kapitel | 11 | |
| Invertieren Von Matrizen | 217 | |
| Regularität und Singularität als Indiz für Invertierbarkeit | 217 | |
| Berechnung der Inversen mittels des Gauß-Algorithmus | 219 | |
| Bildung der Inversen mittels der Adjunkten | 222 | |
| Spezialfall: (2 x 2)- und (3 x 3)-Matrizen | 226 | |
| Kapitel | 12 | |
| EigenvVerte und EigenVektoren, Diagonalisieren Von Matrizen | 229 | |
| Berechnung von Eigenwerten, algebraische Vielfachheit | 229 | |
| Berechnung der Eigenvektoren, geometrische Vielfachheit | 235 | |
| Diagonalisieren von Matrizen | 241 | |
| Algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit | 241 | |
| Mehrfaches Auftreten von Eigenwerten | 243 | |
| Algebraische Vielfachheit * Geometrische Vielfachheit | 244 | |
| Besonderheiten von symmetrischen und hermiteschen Matrizen | 245 | |
| Was sich nicht ändert beim Diagonalisieren | 248 | |
| Anwendung: Noch einmal Drehungen | 250 | |
| Anwendung: Quadriken | 252 | |
| Die Hauptachsen einer Quadrik | 255 | |
| Anwendung des Verfahrens nach Gram und Schmidt | 257 | |
| Ein paar Tipps zum Abschluss des Kapitels! | 257 | |
| Für Fortgeschrittene: Jordansche Normalform | 258 | |
| Bestimmung der Jordan-Normalform und der Transformationsmatrix | 259 | |
| Kapitel | 13 | |
| Besonders einfache Matrizen | 263 | |
| Dreiecksmatrizen | 263 | |
| Diagonalmatrizen | 263 | |
| Blockdiagonale Matrizen | 264 | |
| Vektor- und Matrizenrechnung für Dummies | ||
| Teil W | ||
| Lösen Von linearen Gleichungssystemen | 271 | |
| Kapitel H | ||
| GauR-Algorithmus in Matrixschreibweise: Vertiefung | 273 | |
| Erweiterte Koeffizientenmatrix und Zeilenstufenform | 273 | |
| Rang von Matrizen | 274 | |
| Systeme mit einer eindeutigen Lösung | 276 | |
| Systeme ohne Lösung | 278 | |
| Systeme mit unendlich vielen Lösungen | 279 | |
| Kapitel | 15 | |
| Lösen Von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe Von Parametern | 283 | |
| Einführung von Parametern und Bilden der Lösung | 283 | |
| Minus-Eins-Ergänzungstrick: Erzeugung der Zeilennormalform | ||
| und Ablesen der Lösung | 284 | |
| Kapitel | 16 | |
| Homogene und partikuläre Lösung | 287 | |
| Bildung der homogenen Lösung | 287 | |
| Bildung der partikulären Lösung | 289 | |
| Zusammensetzen beider Lösungen | 289 | |
| Kapitel | 17 | |
| LösungsWeg unter Verwendung der Determinante | 291 | |
| Aufstellen der zu berechnenden Determinanten und Cramersche Regel | 291 | |
| Resultate aus der Cramerschen Regel | 293 | |
| Anwendung: Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems | ||
| in Abhängigkeit zweier Parameter | 293 | |
| Anwendung: Die Wronski-Determinante | 295 | |
| Die Wronski-Determinante in Aktion | 296 | |
| Lineare Unabhängigkeit im Fall der Monome | 297 | |
| Lineare Unabhängigkeit im Fall der Sinus- und Kosinusfunktionen | 298 | |
| Teil | V | |
| Der Top-Ten-Teil | 299 | |
| Kapitel | 18 | |
| Zehn häufige Anfängerfehler | 301 | |
| Dividieren durch Vektoren - Nein! | 301 | |
| Matrizen vertauschen nicht! | 301 | |
| Ein Vektor hängt von den Komponenten und der Basis ab! | 301 | |
| Verwirrung beim komplexen Skalarprodukt | 301 | |
| Leichtsinnsfehler | 302 | |
| Vektoren in anderen Koordinatensystemen | 302 | |
| Einheitskreis - wie bitte? | 302 | |
| Wurzelziehen aus Quadraten | 302 | |
| Vorsicht mit der imaginären Einheit | 302 | |
| Falsche Regeln bei der Berechnung von Determinanten | 303 | |
| Kapitel | 19 | |
| Zehn Tipps für erfolgreiche Prüfungen | 305 | |
| Üben, üben, üben! | 305 | |
| Nachdenken ist die halbe Miete! | 305 | |
| Ergebnisse kritisch begutachten | 305 | |
| Üben Sie auch möglichst an verschiedenen Aufgabentypen! | 306 | |
| Gleichungen müssen stimmig sein! | 306 | |
| Effizienz von Algorithmen | 306 | |
| Aussehen von Geraden und Ebenen | 306 | |
| Denken Sie sich selber Aufgaben aus! | 306 | |
| Nehmen Sie nicht alles bierernst! | 306 | |
| Denken Sie an die am häufigsten vorkommenden Fragen! | 307 | |
| Stich Wortverzeichnis | 309 | |
A
Abbildungsmatrix 192, 193, 194
Abstand
Gerade, Ebene 146
paralleler Geraden 151
windschiefer Geraden 153
zweier Ebenen 150
Addition Matrix 57
Vektor 41
Adjungieren 62
adjungierte Matrix siehe Matrix, adjungierte Adjunkte 222
Ähnlichkeitstransformation 248
analytische Geometrie 26
antihermitesche Matrix siehe Matrix,
antihermitesche antiparallele Vektoren 137
antisymmetrische Matrix siehe Matrix,
antisymmetrische Äquivalenzumformung Matrixgleichung 78
Assoziativgesetz
für Matrixaddition 185
für Matrixmultiplikation 185
Aufpunkt 139
aufspannen 96, 123
Azimutalwinkel 118
B
Basis 72,106, 122, 124, 190 27i-periodische Funktionen 177
Polynome 175
Basisfunktion 175, 179,180
Basistransformation 125, 128
Basisvektor 106, 108, 112, 113, 125,176,
179
Basiswechsel
einer linearen Abbildung 194
Betrag
Vektor 36
Bild
lineare Abbildung 191
Bilinearität
Skalarprodukt 87
Vektorprodukt 95
c
charakteristisches Polynom 230
Cramersche Regel 292
Ù
Determinante 71,291
(2 x 2)-Matrix 203,211
(3 x3)-Matrix 204,208,211
dünn-besetzte Matrix 205
Rechenregeln 213
Zeilen-, Spaltenumformungen 233
Determinantenformel siehe Leibniz-Formel diagonale Matrix siehe Matrix, diagonale diagonalisierbar 242, 245, 258
Diagonalisierung 72, 241, 242
Diagonalmatrix siehe Matrix, diagonale Differenzvektor 48
Distributivgesetz
für Matrixoperationen 186
Dodekaeder 160
Drehmatrix 250
dreidimensionale 129
zweidimensionale 128
Drehung 127
aktive 131
passive 131
Drehwinkel 128,252
Dreiecksform 82, 274
Dreiecksmatrix 67, 263
obere 68,263
untere 68, 263
dyadisches Produkt 102, 114, 117, 121
E
Ebene 140
Eigenbasis 241
Eigenraum 235
Vektor- und Matrizenrechnung für Dummies
Eigenvektor 72, 229
hermitescher/symmetrischer Matrix 246
Eigenwert 72, 229
Diagonalmatrix 231
hermitescher/symmetrischer Matrix 246
Einheitskreis 110
Einheitsmatrix 57, 68
Einheitsvektor 38, 51
Konstruktion 39
Einsoperator 201
Einsteinsche Summenkonvention 99
Entwicklung
nach Zeilen/Spalten 207
Entwicklungskoeffizient 179, 180
Epsilon-Tensor 99
Erzeugendensystem 123
F
Falksches Schema 59, 86
Fourierreihe 181
freier Index 99
Funktionenraum 173
G
Gauß-Algorithmus 53, 81, 273
Gauß-Verfahren siehe Gauß-Algorithmus Geometrie
analytische 49
Gerade 139
Gewichtsfunktion 174, 176
Gibbssches Phänomen 181
Gitternetzlinie 33
Gleichung lineare 28
nichtlineare 28
Gleichungssystem 73
eindeutige Lösung 278
homogenes 287
inhomogenes 287
lineares 25, 29, 295
überbestimmtes 75
unendlich viele Lösungen 281
unlösbares 279
unterbestimmtes 74
Gram-Schmidtes Orthogonalisierungs- verfahren 125, 176, 257
H
Hauptachsen
Quadrik 257
Hauptdiagonale 56, 61, 68
Hauptvektor 259, 260
hermitesche Matrix siehe Matrix, hermitesche
inneres Produkt siehe Skalarprodukt Inverse
(2 x 2)-Matrix 226
(3 x 3)-Matrix 226
mittels Adjunkte 222
mittels Gauß-Algorithmus 219
Invertierbare Matrix siehe Matrix,
invertierbare Invertierbarkeit 217, 225
7
Jordan-Block 259
Jordan-Kästchen 259
Jordan-Normalform 258
K
kartesische Standardbasis 108
Kern
einer linearen Abbildung 191
Koeffizient 55
Koeffizientenmatrix 74, 76
erweiterte 273, 288
kollineare Vektoren 137
Kommutativgesetz Matrixaddition 186
Matrixmultiplikation 187
Komponente 34
Konvergenz 44
konvergenzerzeugender Faktor 174
Koordinaten 31, 105, 190
Koordinatenachsen 31
Koordinatenebene 31
Koordinatenlinie 33, 109, 113,115
Koordinatensystem 31, 105
kartesisches 32, 105
krummliniges 109
Ursprung 32
Koordinatenursprung siehe Ursprung Körper 171
StfchiVorti/erzeichnis
Körperelement 171
Kreuzprodukt 94,143
Determinante 214
Kugel 166
Kugelgleichung 166
Kugelkoordinaten 118,119
L
Leibniz-Formel 199
Levi-Civita-Symbol siehe Epsilon-Tensor linear abhängig 136,141, 146, 151, 174
linear unabhängig 124,136, 141
lineare Abbildung 191,193,229
Linearkombination 47,135, 174, 177, 179
Linksmultiplikation 79
Lösung
homogene 289, 293
partikuläre 289
triviale 288
Lösungsraum
Gleichungssystem 283
Lösungsvektor 74
M
Matrix 25, 27, 25, 27, 55
adjungierte 62
ähnliche 248, 259
antihermitesche 66
antisymmetrische 64
blockdiagonale 264
diagonale 68,263
erweiterte 219
hermitesche 65, 245
inverse 60, 189
invertierbare 64
komplexe 64
orthogonale 66
reelle 64
reguläre 64
singuläre 64
symmetrische 64, 245, 252
transponierte 61, 189
tridiagonale 68
unitäre 66
Minus-Eins-Ergänzungstrick 284
Monom 175
Multiplikation Matrix 58
Vektor mit Zahl 45
M
Nebendiagonale 56
Norm
Vektor 36
Normalenform 143
Normalenvektor 143
Normalform
Quadrik 254
Normierung 38
Nullmatrix 57, 68
Nullvektor 36, 37, 86, 136,172, 191 0
Operator 27
Orthogonalbasis 106,122,125,126
orthogonale Matrix siehe Matrix, orthogonale Orthogonalsystem 107
Orthonormalbasis 106, 107, 114,121,122, 126,175, 176
trigonometrische Funktionen 179
Orthonormalsystem 107, 113
Ortsvektor 34
P
parallele Geraden 151, 154
parallele Vektoren 137
Parallelepiped siehe Spat Parameterdarstellung Gerade 139
Ebene 163
Pentagon 160
Permutation 199,203
gerade 201
Länge 200
ungerade 201
Vorzeichen 200, 202
Platonischer Körper 155, 157, 160
Polarkoordinaten 109, 114
räumliche 118
Polarwinkel 118
Polynom 175
Grad 175
Koeffizienten 175
Polynomdivision 266
Polynome
hermitesche 176
Potenzreihe einer Matrix 188
Vektor- und Matrizenrecfwung für Dummies
0
Quader 155
Quadrik 252
R
Rang 274, 276
Spaltenrang 274
Zeilenrang 274
Rechtsmultiplikation 79
Rechtssystem 107,118,122
reguläre Matrix siehe Matrix, reguläre Regularität 217, 225
Richtungsvektor 139, 141, 151
5
Sarrussche Regel 211,212
Schachbrettregel 208
Schnitt
zweier Ebenen 147
Schnittkreis
Kugel, Ebene 168
Schnittpunkt
Gerade, Ebene 144
singuläre Matrix siehe Matrix, singuläre Singularität 217, 225
Skalarprodukt 85, 107, 172, 174, 175,178, 180
Eigenschaften 86, 173
komplexe Vektoren 87
Spaltenvektor 61
Spat 100
Spatprodukt 100
Spur 248
Stufenform 82
stummer Index 99
Subtraktion Matrix 57
Vektor 42
symmetrische Matrix siehe Matrix,
symmetrische
T
Tangentenvektor 109, 113
Kreis 93
Tangentialebene
Kugel 167
Tetraeder 157
totale Antisymmetrie 99
Transformation 68
Hintereinanderausführung 69
Umkehrbarkeit 71
Transformationsmatrix 69, siehe
Abbildungsmatrix Transponieren 60
transponierte Matrix siehe Matrix,
transponierte Transposition 99, 200, 201
tridiagonale Matrix siehe Matrix, tridiagonale trigonalisierbar 258
triviale Lösung
Gleichungssystem 288
u
Umkugel 165
unitäre Matrix siehe Matrix, unitäre Unterdeterminante 206
Untermatrix 206
Urbild
einer linearen Abbildung 191
V
Vektor 25, 31
Schreibweise 33
Vektorpfeil 26, 31
Vektorprodukt 107, siehe Kreuzprodukt
Eigenschaften 94
Vektorraum 171, 172,176
Axiome 172
Vielfachheit
algebraische 230, 243, 245, 258
geometrische 235, 245, 258
w
windschiefe Geraden 151, 155
Winkelhalbierende 49
Wronski-Determinante 296, 297, 298
z
Zeile
Vektor 34
Zeilennormalform 284, 286
Zeilenstufenform 273
Zeilenvektor 61
Zylinderkoordinaten 115, 116
