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| Einleitung | ||
| Konventionen in diesem Buch | ||
| Törichte Annahmen über den Leser | ||
| Was Sie in diesem Buch finden | ||
| Was Sie in diesem Buch nicht finden | ||
| Wie dieses Buch aufgebaut ist | ||
| Teil I: Einführung | ||
| Teil II: Vektorrechnung | ||
| Teil III: Matrizen | ||
| Teil IV: Lineare Gleichungssysteme | ||
| Teil V: Der Top-Ten-Teil | ||
| Spickzettel | ||
| Symbole, die in diesem Buch verwendet werden | ||
| Wie es weitergeht | ||
| Teil | I | |
| Einführung | ||
| Kapitel | 1 | |
| Motivation | ||
| Gestatten: Die Familie der Vektoren, Matrizen und linearen | ||
| Gleichungssysteme | ||
| Vektoren in Theorie und Praxis | ||
| Matrizen in Schule, Studium und Beruf | ||
| Wie Matrizen behandelt werden wollen und wie sie einem behilflich sind | ||
| Kapitel | 2 | |
| Vektorrechnung | ||
| Was war zuerst da: der Vektor oder der Pfeil? | ||
| Voll konkret: explizite Schreibweise und Komponenten eines Vektors | ||
| Der Betrag eines Vektors | ||
| Beispiele | ||
| Einheitsvektoren - Voll normal! | ||
| Rechnen mit Vektoren | ||
| Addition und Subtraktion von Vektoren | ||
| Multiplikation von Vektoren mit Zahlen | ||
| Vektor- und Matrizenrechnung für bummies | ||
| Linearkombination von Vektoren als »Pfeile« | 47 | |
| Differenzvektoren | 48 | |
| Vektoren in der analytischen Geometrie | 49 | |
| Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks | 49 | |
| Zum Halten von Lasten | 51 | |
| Kapitel | 3 | |
| Matrizen | 55 | |
| Definition und Form von Matrizen | 55 | |
| Rechnen mit Matrizen - mehr als nur ein Haufen Zahlen! | 57 | |
| Addition und Subtraktion von Matrizen | 57 | |
| Multiplikation von Matrizen | 58 | |
| Invertieren von Matrizen | 60 | |
| So sieht sich eine Matrix im Spiegel | 60 | |
| Der Stammbaum der Matrizen | 63 | |
| Reelle und komplexe Matrizen | 63 | |
| Quadratische und nicht-quadratische Matrizen | 64 | |
| Reguläre und singulare Matrizen | 64 | |
| Symmetrische und hermitesche Matrizen | 64 | |
| Orthogonale und unitäre Matrizen | 66 | |
| Dreiecksmatrizen | 67 | |
| Noch speziellere Matrizen | 68 | |
| Matrizen bei der Arbeit | 68 | |
| Determinante und Umkehrbarkeit von Transformationen | 71 | |
| Eigenwerte, Eigenvektoren und das Diagonalisieren von Matrizen | 71 | |
| Kapitel h | ||
| Lösen öon linearen Gleichungssystemen | 73 | |
| Matrixschreibweise für lineare Gleichungssysteme | 73 | |
| Links- und Rechtsmultiplikation sind zweierlei! | 77 | |
| Umformen der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems | 81 | |
| Teil | II | |
| Vektorrechnung | 83 | |
| Kapitel | 5 | |
| Vektor mal Vektor = >>> | 85 | |
| Skalarprodukt: Vektor mal Vektor gleich Zahl | 85 | |
| Definition und Schreibweisen | 85 | |
| Wissenswertes zum Skalarprodukt: kurz und knapp | 86 | |
| Geometrische Bedeutung - endlich wird es anschaulich! | 88 | |
| Wie berechnet man das Skalarprodukt konkret? | 91 | |
| Kreuzprodukt: Vektor mal Vektor gleich Vektor | 94 | |
| Definition und Schreibweise | 94 | |
| Nützliches zum Vektorprodukt: wieder kurz und knapp | 94 | |
| Geometrische Bedeutung - endlich wird's wieder anschaulich! | 95 | |
| Wie rechnet man das Kreuzprodukt konkret aus? | 96 | |
| Das Spatprodukt - und was ist bitte ein Parallelepiped? | 100 | |
| Dyadisches Produkt: Vektor mal Vektor gleich Matrix | 102 | |
| Definition und Schreibweise | 102 | |
| Dyadisches Produkt zweidimensionaler orthogonaler Einheitsvektoren | 102 | |
| Dyadisches Produkt von orthogonalen Einheitsvektoren | ||
| in drei Dimensionen | 103 | |
| Kapitel | 6 | |
| Die Welt der Mathematik besteht aus Vektoren | 105 | |
| Unser Koordinatensystem ist das Gerüst der Vektor-Welt | 105 | |
| Kartesische Koordinatensysteme - hier steht alles senkrecht! | 105 | |
| Beispiele für kartesische Koordinatensysteme | 106 | |
| Polarkoordinaten - krumme Linien in der Ebene?! | 109 | |
| Zylinderkoordinaten - Hut ab für die dritte Dimension! | 115 | |
| Kugelkoordinaten - eine runde Sache | 118 | |
| Basis und Basistransformationen: Wir wechseln den Blickwinkel! | 122 | |
| Unter der Lupe: Was versteht man unter einer Basis? | 122 | |
| Beispiele für Basen | 124 | |
| Basistransformationen - aus Alt mach Neu | 125 | |
| Jetzt geht's rund - wir drehen die Basis! | 127 | |
| Kapitel | 7 | |
| Analytische Geometrie - mehr als nur ein paar Bauklötze! | 135 | |
| Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren | 135 | |
| Der Vektorzug fährt ein | 135 | |
| Parallele und antiparallele Vektoren | 136 | |
| Anwendungsaufgabe zur linearen Abhängigkeit von Vektoren | 137 | |
| Darstellung von Geraden und Ebenen | 139 | |
| Parameterdarstellung: Jetzt kommen die Vektoren zum Zug! | 139 | |
| Normalenform: Der senkrechte Vektor zeigt, wo es lang geht! | 142 | |
| Zusammenfassung | 144 | |
| Der Klassiker: Schnitte und Abstände von Geraden und Ebenen | 144 | |
| Schnitte von Geraden mit Ebenen | 144 | |
| Abstand zwischen Ebene und einer parallelen Gerade | 146 | |
| Schnitt zweier Ebenen in Parameterdarstellung | 147 | |
| Schnitt einer Ebene in Parameterdarstellung und einer Ebene | ||
| in Normalenform | 148 | |
| Bestimmung des Abstands zweier paralleler Ebenen | 149 | |
| Parallele und windschiefe Geraden | 151 | |
| Vektor- und Matrizenrechnunq für öummies | ||
| Wir verlassen das Flachland und bauen Körper aus Ebenen | 155 | |
| Eine Pralinenschachtel in der Vektorrechnung | 155 | |
| Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 1: | ||
| Wir bauen uns einen Tetraeder | 157 | |
| Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 2: | ||
| Wie viel Farbe benötigt man, um einen Dodekaeder anzumalen? | 160 | |
| Die Sache kommt ins Rollen: Kugeln in der Vektorrechnung | 166 | |
| Die Kugelgleichung | 166 | |
| Tangentialebenen | 167 | |
| Schnitt von Kugeln mit Ebenen | 168 | |
| Kapitel | 8 | |
| Funktionenräume | 171 | |
| Können Funktionen Vektoren sein? | 171 | |
| Ein Skalarprodukt für Funktionen | 173 | |
| Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funktionen | 174 | |
| Funktionen machen es den Vektoren im Anschauungsraum nach | 174 | |
| Der Funktionenraum der Polynome | 175 | |
| Monome als Bausteine von Polynomen | 175 | |
| Orthogonale Funktionen - was bedeutet das? | 175 | |
| Trigonometrische Funktionen | 177 | |
| Auf der Suche nach einer Basis | 177 | |
| Ran ans Werk: Das Skalarprodukt trigonometrischer Funktionen | 178 | |
| Die Fourierreihe - wir bringen Funktionen zum Schwingen | 179 | |
| So macht man aus unstetigen Funktionen stetige | 180 | |
| Teil | III | |
| Matrizen | 183 | |
| Kapitel | 9 | |
| Rechenreqeln | 185 | |
| Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetz für die Addition | 185 | |
| Addition, Subtraktion und Multiplikation in Aktion | 187 | |
| Division durch Bildung der Inversen | 189 | |
| Lineare Abbildungen, Kern und Bild | 190 | |
| Basistransformationen von Vektoren mittels Matrizen | 190 | |
| Einführung in lineare Abbildungen und deren Basiswechsel | 191 | |
| u | ||
| Kapitel | 10 | |
| Determinanten | 199 | |
| Verfahren nach Leibniz | 199 | |
| Permutationen - da haben wir den (Zahlen)salat! | 199 | |
| Die Determinantenformel | 202 | |
| Schachbrettregel und Unterdeterminanten | 205 | |
| Entwicklung nach Zeilen oder Spalten | 207 | |
| Spezialfall: (2 x 2)-Matrizen | 211 | |
| Spezialfall: (3 x 3)-Matrizen und Sarrussche Regel | 211 | |
| Rechenregeln für Determinanten | 213 | |
| Anwendung: Berechnung des Kreuzprodukts mit der Determinante | 214 | |
| Kapitel | 11 | |
| Invertieren Von Matrizen | 217 | |
| Regularität und Singularität als Indiz für Invertierbarkeit | 217 | |
| Berechnung der Inversen mittels des Gauß-Algorithmus | 219 | |
| Bildung der Inversen mittels der Adjunkten | 222 | |
| Spezialfall: (2 x 2)- und (3 x 3)-Matrizen | 226 | |
| Kapitel | 12 | |
| EigenvVerte und EigenVektoren, Diagonalisieren Von Matrizen | 229 | |
| Berechnung von Eigenwerten, algebraische Vielfachheit | 229 | |
| Berechnung der Eigenvektoren, geometrische Vielfachheit | 235 | |
| Diagonalisieren von Matrizen | 241 | |
| Algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit | 241 | |
| Mehrfaches Auftreten von Eigenwerten | 243 | |
| Algebraische Vielfachheit * Geometrische Vielfachheit | 244 | |
| Besonderheiten von symmetrischen und hermiteschen Matrizen | 245 | |
| Was sich nicht ändert beim Diagonalisieren | 248 | |
| Anwendung: Noch einmal Drehungen | 250 | |
| Anwendung: Quadriken | 252 | |
| Die Hauptachsen einer Quadrik | 255 | |
| Anwendung des Verfahrens nach Gram und Schmidt | 257 | |
| Ein paar Tipps zum Abschluss des Kapitels! | 257 | |
| Für Fortgeschrittene: Jordansche Normalform | 258 | |
| Bestimmung der Jordan-Normalform und der Transformationsmatrix | 259 | |
| Kapitel | 13 | |
| Besonders einfache Matrizen | 263 | |
| Dreiecksmatrizen | 263 | |
| Diagonalmatrizen | 263 | |
| Blockdiagonale Matrizen | 264 | |
| Vektor- und Matrizenrechnung für Dummies | ||
| Teil W | ||
| Lösen Von linearen Gleichungssystemen | 271 | |
| Kapitel H | ||
| GauR-Algorithmus in Matrixschreibweise: Vertiefung | 273 | |
| Erweiterte Koeffizientenmatrix und Zeilenstufenform | 273 | |
| Rang von Matrizen | 274 | |
| Systeme mit einer eindeutigen Lösung | 276 | |
| Systeme ohne Lösung | 278 | |
| Systeme mit unendlich vielen Lösungen | 279 | |
| Kapitel | 15 | |
| Lösen Von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe Von Parametern | 283 | |
| Einführung von Parametern und Bilden der Lösung | 283 | |
| Minus-Eins-Ergänzungstrick: Erzeugung der Zeilennormalform | ||
| und Ablesen der Lösung | 284 | |
| Kapitel | 16 | |
| Homogene und partikuläre Lösung | 287 | |
| Bildung der homogenen Lösung | 287 | |
| Bildung der partikulären Lösung | 289 | |
| Zusammensetzen beider Lösungen | 289 | |
| Kapitel | 17 | |
| LösungsWeg unter Verwendung der Determinante | 291 | |
| Aufstellen der zu berechnenden Determinanten und Cramersche Regel | 291 | |
| Resultate aus der Cramerschen Regel | 293 | |
| Anwendung: Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems | ||
| in Abhängigkeit zweier Parameter | 293 | |
| Anwendung: Die Wronski-Determinante | 295 | |
| Die Wronski-Determinante in Aktion | 296 | |
| Lineare Unabhängigkeit im Fall der Monome | 297 | |
| Lineare Unabhängigkeit im Fall der Sinus- und Kosinusfunktionen | 298 | |
| Teil | V | |
| Der Top-Ten-Teil | 299 | |
| Kapitel | 18 | |
| Zehn häufige Anfängerfehler | 301 | |
| Dividieren durch Vektoren - Nein! | 301 | |
| Matrizen vertauschen nicht! | 301 | |
| Ein Vektor hängt von den Komponenten und der Basis ab! | 301 | |
| Verwirrung beim komplexen Skalarprodukt | 301 | |
| Leichtsinnsfehler | 302 | |
| Vektoren in anderen Koordinatensystemen | 302 | |
| Einheitskreis - wie bitte? | 302 | |
| Wurzelziehen aus Quadraten | 302 | |
| Vorsicht mit der imaginären Einheit | 302 | |
| Falsche Regeln bei der Berechnung von Determinanten | 303 | |
| Kapitel | 19 | |
| Zehn Tipps für erfolgreiche Prüfungen | 305 | |
| Üben, üben, üben! | 305 | |
| Nachdenken ist die halbe Miete! | 305 | |
| Ergebnisse kritisch begutachten | 305 | |
| Üben Sie auch möglichst an verschiedenen Aufgabentypen! | 306 | |
| Gleichungen müssen stimmig sein! | 306 | |
| Effizienz von Algorithmen | 306 | |
| Aussehen von Geraden und Ebenen | 306 | |
| Denken Sie sich selber Aufgaben aus! | 306 | |
| Nehmen Sie nicht alles bierernst! | 306 | |
| Denken Sie an die am häufigsten vorkommenden Fragen! | 307 | |
| Stich Wortverzeichnis | 309 | |
