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| Inhaltsverzeichnis | ||||||
| A | Vektoren, Geraden, Ebenen | 7 | ||||
| 1 | Grundlagen der Koordinatengeometrie | 9 | ||||
| 1.1 | Punkte und Strecken im Koordinatensystem | 9 | ||||
| 1.2 | Geraden in der Ebene | 15 | ||||
| 1.3 | Lineare Gleichungssysteme | 24 | ||||
| Gemischte Aufgaben | 32 | |||||
| Im Überblick | 35 | |||||
| Mosaik: Matrizen | 36 | |||||
| 2 | Vektoren in der Ebene und im Raum | 39 | ||||
| Rückblick | 39 | |||||
| 2.1 | Pfeile und Vektoren | 40 | ||||
| 2.2 | Rechengesetze für Vektoren | 47 | ||||
| 2.3 | Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren | 53 | ||||
| Gemischte Aufgaben | 59 | |||||
| Im Überblick | 61 | |||||
| Mosaik: Farbe und Bits | 62 | |||||
| 3 | Geraden in Ebene und Raum | 64 | ||||
| Rückblick | 64 | |||||
| 3.1 | Gleichungen von Geraden | 65 | ||||
| 3.2 | Lagebeziehungen zweier Geraden | 73 | ||||
| Gemischte Aufgaben | 78 | |||||
| Im Überblick | 80 | |||||
| Mosaik: Zur Geschichte des euklidischen Parallelenaxioms | 82 | |||||
| 4 | Ebenen im Raum | 84 | ||||
| Rückblick | 84 | |||||
| 4.1 | Gleichungen von Ebenen | 85 | ||||
| 4.2 | Lagebeziehungen von Gerade und Ebene | 92 | ||||
| 4.3 | Lagebeziehungen von zwei Ebenen | 97 | ||||
| Gemischte Aufgaben | 102 | |||||
| Im Überblick | 104 | |||||
| Mosaik: Mindmap - Zusammenhänge auf einen Blick | 105 | |||||
| Hilfsmittelfreier Test | 106 | |||||
| B | Winkel und Abstände | 109 | ||||
| 1 | Skalarprodukt und Vektorprodukt | 111 | ||||
| Rückblick | 111 | |||||
| 1.1 | Das Skalarprodukt, seine Eigenschaften und Anwendungen | 112 | ||||
| 1.2 | Das Vektorprodukt, seine Eigenschaften und Anwendungen | 118 | ||||
| 1.3 | Orthogonalität von Geraden und Ebenen | 124 | ||||
| Gemischte Aufgaben | 129 | |||||
| Im Überblick | 132 | |||||
| Mosaik: Beispiele mathematischer Geografie | 133 | |||||
| 2 | Schnittwinkelberechnungen | 135 | ||||
| Rückblick | 135 | |||||
| 2.1 | Schnittwinkel von Geraden in der Ebene | 137 | ||||
| 2.2 | Schnittwinkel zwischen geometrischen Objekten des Raumes | 142 | ||||
| Gemischte Aufgaben | 148 | |||||
| Im Überblick | 151 | |||||
| Mosaik: Programme für den GTR | 152 | |||||
| 3 | Abstandsberechnungen | 155 | ||||
| Rückblick | 155 | |||||
| 3.1 | Abstand eines Punktes von einer Geraden | 156 | ||||
| 3.2 | Abstand eines Punktes von einer Ebene | 162 | ||||
| 3.3 | Abstand zweier Geraden | 166 | ||||
| Gemischte Aufgaben | 172 | |||||
| Im Überblick | 175 | |||||
| Mosaik: Fraktale | 176 | |||||
| Hilfsmittelfreier Test | 179 | |||||
| C | Kreise und Kugeln | 181 | ||||
| 1 | Kreise in der Ebene | 183 | ||||
| Rückblick | 183 | |||||
| 1.1 | Kreisgleichungen | 185 | ||||
| 1.2 | Kreis und Gerade | 189 | ||||
| 2 | Kugeln im Raum | 193 | ||||
| Rückblick | 193 | |||||
| 2.1 | Kugelgleichungen | 194 | ||||
| 2.2 | Kugel und Ebene | 197 | ||||
| Gemischte Aufgaben | 201 | |||||
| Im Überblick | 203 | |||||
| Mosaik: Kegelschnitte | 204 | |||||
| Hilfsmittelfreier Test | 206 | |||||
| D | Komplexe Aufgaben | 207 | ||||
| Anhang | 225 | |||||
| Hinweise zur Anwendung des Grafiktaschenrechners Voyage 200 | 226 | |||||
| Hinweise zur Dokumentation von Lösungswegen bei Verwendung von GTR und CAS | 232 | |||||
| Ausgewählte Lösungen zu den hilfsmittelfreien Tests | 235 | |||||
| Register | 237 | |||||
| Index lernmethodischer und rechentechnischer Hinweise | 240 | |||||
| Bildquellenverzeichnis | 240 | |||||
Register
AAbstand
- eines Punktes von einer Ebene 163
- eines Punktes von einer Geraden 22, 158, 160
- zueinander paralleler Geraden 22, 167
- zueinander windschiefer Geraden 169, CD
- zweier Ebenen 170
- zweier Punkte 13
Achsenabschnittsgleichung
- einer Geraden 18
- einer Ebene 89, CDAddition
- von Matrizen CD
- von Vektoren 48
Algebra, Geschichte CDAlgorithmus
- unverzweigter 152
- verzweigter 154
allgemeine Geradengleichung 18
analytische Geometrie, Geschichte CDAnstieg einer Geraden 16
APOLLONIOS VON PERGE CD
archimedische Spirale CD
BBasis 55
- eines Unterraumes CDBetrag eines Vektors 45
Breite, geografische 133
Ccassinische Kurven CD
CRAMER, GABRIEL CD
cramersche Regel CD
DDANDELIN, GERMINAL PIERRE CD
DESCARTES, RENE 11, CD
Determinante CD
Diagonalform eines linearen
- Gleichungssystems 27
Dimension eines Vektorraumes CDDreieck
- Flächeninhalt CD
- Schwerpunkt CD
- sphärisches 134
Dreiecksform eines linearen Gleichungssystems 26
Dreipunktegleichung einer Ebene 87, CD
Drehung eines Koordinatensystems CD
Durchstoßpunkt 93
dynamische Geometriesoftware (DGS) 10
EEbene
- Achsenabschnittsgleichung 89, CD
- Dreipunktegleichung 87, CD
- Koordinatengleichung 88, CD
- Normalengleichung 125
- Normalenvektor 126, CD
- Punktrichtungsgleichung 86
- Spannvektor 86
- Spurpunkt 89
Ebenen
- Lagebeziehung 98
- spezielle 90, CDEbenenbündel CD
Ebenenbüschel CD
Ebenengleichung CD
- hessesche Normalenform 128, CD
- Normalenform CDEinheitsmatrix CD
Einheitsvektor 45
Eliminierungsverfahren, gaußsches 26, CD
Ellipse 204, CD
elliptische Geometrie 83
entgegengesetzter Vektor 44
Erzeugendensystem eines Unterraumes CD
euklidisches Parallelenaxiom 82, CD
EUKLID VON ALEXANDRIA 82, CD
eulersche Gerade 34
FFadenkonstruktionen der Kegelschnitte 204, CD
falksches Schema CD
Farbmischung 62
Felder, physikalische CD
Feldlinienbild CD
- Vektorbild CDFERMAT, PIERRE DE CD
fermatsches Problem CDFlächeninhalt
- eines Dreiecks 122, CD
- eines Kreises 183
- eines Parallelogramms 122
Fraktal 176
fraktale Geometrie 177
GGAUSS, CARL FRIEDRICH 82, CD
gaußsches Eliminierungsverfahren 26, CD
Geografie, mathematische CD
geografische Breite 133
geografische Länge 133
Geometrie
- elliptische 83
- fraktale 177
- hyperbolische 83
- nichteuklidische 82
- sphärische 133, CDGerade
- Achsenabschnittsgleichung 18
- Anstieg 16
- eulersche 34
- Normale 21
- Normalengleichung 125
- Normalenvektor 126
- Parametergleichung 66
- Punktrichtungsgleichung 16, 66, CD
- Richtungsvektor 66
- Stützpunkt 66
- Stützvektor 66
- Zweipunktegleichung 17, 68
Geraden
- identische 20
- Lagebeziehung 19, 74, CD
- Orthogonalität 21
- Parallelität 19
- Schnittpunkt 19
- Schnittwinkel 20, CD
- zueinander orthogonale 21, 138
- zueinander parallele 19, 138
- zueinander windschiefe 74
Geradenbündel 76, CDGeradenbüschel 76, CD
Geradengleichung
- allgemeine 18
- explizite Form 17
- hessesche Normalenform 128
- Normalform 17
Geradenschar 76
Geschichte
- der Algebra CD
- der Analytischen Geometrie CD
Gleichungssysteme
- homogene lineare 25, CD
- inhomogene lineare CDGrößen
- skalare 42
- vektorielle 42
HHESSE, OTTO LUDWIG 127
hessesche Normalenform 127
- einer Ebenengleichung 128, CD
- einer Geradengleichung 128HILBERT, DAVID CD
Hyperbel 204, CD
hyperbolische Geometrie 83
hyperbolische Spirale CD
IIdentität zweier Geraden 20
inverse Matrix CD
Kkartesisches Koordinatensystem 11, 56, CD
Kegelschnitte 204, CD
- Ellipse 204, CD
- Fadenkonstruktionen 204, CD
- gemeinsame Scheitelgleichung CD
- Hyperbel 204, CD
Kreis 204, CD
- Mittelpunktsgleichungen CD
- Parabel 204, CD
- Polarkoordinatendarstellung CD
- Scheitelgleichungen CDKLEIN, CHRISTIAN FELIX CD
Koeffizientenmatrix 36
- erweiterte 36
kollineare Punkte CDkollineare Vektoren 54, 121, CD
komplanare Vektoren 54, CD
Komponentendarstellung von Vektoren 55
Koordinatenachse 11
Koordinatendarstellung von Vektoren 55
Koordinatenebene 11
Koordinatensystem
- Drehung CD
kartesisches 11, 56, CD
Kugelkoordinatensystem CD
- Polarkoordinatensystem 133, CD
- Verschiebung CDKoordinatenursprung 11
Koordinatentransformation CD Kreis 183, 204
- Flächeninhalt 183
- Parametergleichung CD
- Passante 190
- Polarität CD
- Sekante 190
- Tangente 183, 190
- Tangentengleichung 191
- Umfang 183
Kreise, Lagebeziehung CD Kreisgleichung
Koordinatenform 186
- vektorielle 186
Kreuzprodukt 120
Kugel 193
- Oberflächeninhalt 193
- Parametergleichung CD
- Passantebene 198
- Schnittebene 198
- Tangentialebene 198, CD
- Tangentialkegel CD
- Volumen 193
Kugelabschnitt 193
Kugelausschnitt 193
Kugelgleichung
Koordinatenform 195, CD
- vektorielle 194, CDKugelkappe 193
Kugelkoordinaten 133, CDKugeln, Lagebeziehung CD
Kugelsegment 193
Kugelsektor 193
Kurven, cassinische CD
LLagebeziehung
- von Ebenen 98
- von Gerade und Ebene 93- von Geraden 19, 74, CD
- von Kreis und Gerade 190
- von Kreis und Punkt 187
- von Kreisen CD
- von Kugel und Ebene 198, CD
- von Kugel und Gerade CD
- zweier Kugeln CDLänge, geografische 133
Länge einer Strecke 12
Lemniskate CD
linear abhängige Vektoren 56, CDlineare Gleichungssysteme 25, CD
- Diagonalform 27
- Dreiecksform 26
- erweiterte Koeffizientenmatrix 36
- Koeffizientenmatrix 36
Lösungsmenge 28
- Trapezform 29
lineare Hülle CDlineare Optimierung CD
lineare Ungleichungen CD
lineare Ungleichungssysteme CD
Linearkombination von Vektoren 55, CD
linear unabhängige Vektoren 56, CD
LOBATSCHEWSKI, NIKOLAI IWANOWITSCH 83, CD
logarithmische Spirale CD
Lösungsmenge eines linearen
- Gleichungssystems 28
Loxodrome 134
MMANDELBROT-Menge 178
mathematische Geografie CD Matrix 26, 36, CD
- Einheitsmatrix CD
- inverse CD
Multiplikation mit Skalar CD Multiplikation mit Vektor 37, CD
- skalare Vervielfachung CD
- Typ CD Matrizen
- Addition CD
Multiplikation CD
- verkettete CDMatrizengleichung CD
Mittelpunkt einer Strecke 13, CD
Mittelpunktsgleichungen der
- Kegelschnitte CDMittelpunktswinkel 183
Multiplikation
- einer Matrix mit einem Vektor 37
- von Matrizen CD
Nnichteuklidische Geometrie 82
Normale einer Geraden 21
Normaleneinheitsvektor 127
Normalenform, hessesche 127, CDNormalengleichung
- einer Ebene 125, CD
- einer Geraden 125
Normalenvektor 119
- einer Ebene 126, CD
- einer Geraden 126, CD
Normalform der Geradengleichung 17
Nullvektor 49
OOptimierung, lineare CD
Orthogonalität
- von Ebenen 127
- von Geraden 21, 127, 138
- von Gerade und Ebene 127
- von Vektoren 116
Ortsvektor eines Punktes 43, CD
PParabel 204, CD
Parallelenaxiom, euklidisches 82, CD
Parallelität
- von Geraden 19, 138
- von Vektoren 54
Parametergleichung einer Geraden 66
Passante 190
Passantebene 198
Peripheriewinkel 183
Pfeil 42
Polare 191
Polarität am Kreis CD Polarkoordinatensystem
- ebenes CD
- räumliches 133
Polygonzug 49
Punkte
- kollineare CD
- komplanare CDPunktprodukt 114
Punktrichtungsgleichung
- einer Ebene 86
- einer Geraden 16, 66, CD
RRegel, cramersche CD
Regel von SARRUS CD
Richtungsvektor einer Geraden 66
SS-Multiplikation 50
Scheitelgleichungen der Kegelschnitte CDSchnittebene 198
Schnittgerade zweier Ebenen 98
Schnittpunkt zweier Geraden 19
Schnittwinkel
- Gerade und Ebene 145, CD
- zweier Ebenen 145, CD
- zweier Geraden 20, 139, 140, 143, CD
- zweier Kurven 140
Schraubenkurve CDSchwerpunkt eines Dreiecks CD
Sehnen-Tangenten-Winkel 183
Sekante 190
Sequenz 152
Sierpinski-Dreieck 176
skalare Größe 42
skalare Vervielfachung einer
- Matrix CD Skalarprodukt 114, CD
- Eigenschaften 114, CDSpaltenvektor 36, 43, CD
Spannvektor einer Ebene 86
Spatprodukt 169, CD
- Eigenschaften CDsphärische Geometrie 133, CD
sphärische Trigonometrie CD
sphärisches Dreieck 134
Spirale
- archimedische CD
- hyperbolische CD
- logarithmische CD Spurpunkt 89
Standardbasis von Vektoren 55
Strecke
- Länge 12
- Mittelpunkt 13, CD
- Teilung CD Stützpunkt einer Geraden 66
Stützvektor einer Geraden 66
Subtraktion von Vektoren 50
TTangente eines Kreises 183, 190
- Gleichung 191
Tangentialebene einer Kugel 198, CD
- Gleichung 199
Tangentialkegel einer Kugel CDTeilpunkt CD
Teilung einer Strecke CDTeilverhältnis CD
Trapezform eines linearen
- Gleichungssystems 29
Trigonometrie, sphärische CDTyp einer Matrix CD
UUmfang eines Kreises 183
Umfangswinkel 183
Ungleichungen, lineare CDUngleichungssysteme, lineare CD
Unterraum eines Vektorraumes CD
- Basis CD
- Erzeugendensystem CDunverzweigter Algorithmus 152
VVektor 42, 57, CD
- Betrag 45
- entgegengesetzter 44
- Einheitsvektor 45
- Komponentendarstellung 55
- Koordinatendarstellung 55
- Nullvektor 49
Vektoren
- Addition 48
- Basis 55
- kollineare 54, 121, CD
- komplanare 54, CD
- linear abhängige 56, CD
- Linearkombination 55, CD
- linear unabhängige 56, CD
- Orthogonalität 116
- Skalarprodukt 114
- Standardbasis 55
- Subtraktion 50
Vektorprodukt 120
Vervielfachung 50
- zueinander parallele 54
vektorielle Größe 42
Vektorgleichung CD Vektorkette 49
Vektorprodukt 120, CD
- Eigenschaften 121, CDVektorraum 57, CD
- Dimension CD
- Unterraum CDVerbindungsvektor 44
Verflechtungsmatrizen CDverkettete Matrizen CD
Verschiebung 39
- eines Koordinatensystems CD
Verschiebungspfeil 39
Vervielfachung von Vektoren 50
verzweigter Algorithmus 154
WWinkel
- zwischen Gerade und Ebene 145, CD
- zwischen zwei Ebenen 145, CD
- zwischen zwei Geraden 20, 139, 140, 143, CD
- zwischen zwei Vektoren 115
ZZeilenvektor 36, 43, CD
Zentriwinkel 183
Zweipunktegleichung einer
- Geraden 17, 68
Zyklus 152
Index
lernmethodischer und rechentechnischer Hinweise
AAlgorithmen 152
Analogiebetrachtungen 18
Äquivalenz 121
BBlackbox 119
Blackbox-Methode 119
Brainstorming 108
CCAD-Darstellung 10
Computeralgebrasystem (CAS)
- Abstandsberechnungen 231, CD
- Class-Pad 300, CD
- cross-P 118, 122
- Derive CD
- dot-P 114
- Kreise 115, 184
- Lagebeziehungen von Geraden CD
- Lösen von Gleichungssystemen 27, 226
- Mathcad CD
- Matrizen 27, 37, 227
- Parameterkurve 184
- Polarkoordinaten 184
- Programm "lage" 144, 146, CD
- Schnittwinkelberechnungen 21, 229
- Vektoren 43, 47, 228
- Voyage 200 226, CDComputergrafik 10, 60
DDerive CD
- 3D-Darstellungen 88, 90, 97, 143
- Vektoren 45
Dokumentation von Lösungswegen 232
Dynamische Geometriesoftware (DGS) 10, CD
- eulersche Gerade 10, CD
- Geonext CD
- Kreise 185
- Skalarprodukt 115
EExpertenrunde 108
GGrafikfähige Taschenrechner (GTR) CD
- Class-Pad 300, CD
- Kreise 115, 184
- Lagebeziehungen von Geraden CD
- Lösen von Gleichungssystemen 27, 226
- Matrizen 27, 37, 227
- Parameterkurve 184
- Polarkoordinaten 184
- Programme 152, CD
- Programm "lage" 144, 146, CD
- Schnittwinkelberechnungen 21, 229
- Vektoren 43, 47, 228
- Voyage 200 226, CDGruppenarbeit 108
Gruppenpuzzle 108
IImplikation 20
KKlausuren und Prüfung, Tipps für 180
Klausuren, Vorbereiten auf 208
MModellieren 189
NNeue Technologien 10
PPräsentation 108
Powerpoint 108
Programme für den GTR 144, 152, CD
RRechenmodule
- Schnittwinkel zweier Geraden 21
- Winkel zwischen Vektoren 139
Ssolve-Befehl
- Lösen von Gleichungssystemen 27, 226
- Kreisgleichungen 187, 190
- Kugelgleichungen 195
TTabellenkalkulation CD
- Ebenengleichung 164, CD
- Skalarprodukt 115
VVektorschreibweise 43, 47
