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Teubner B.G. Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| Vorwort | v | |
| Einleitung | 1 | |
| 0 | Wichtige Formeln, Graphische Darstellungen und Tabellen | 3 |
| 0.1 | Grundformeln der Elementarmathematik | 3 |
| 0.1.1 | Mathematische Konstanten | 3 |
| 0.1.2 | Winkelmessimg | 5 |
| 0.1.3 | Flächeninhalt und Umfang ebener Figuren | 7 |
| 0.1.4 | Volumen und Oberflächen von Körpern | 11 |
| 0.1.5 | Volumen und Oberfläche der regulären Polyeder | 14 |
| 0.1.6 | Volumen und Oberfläche der n-dimensionalen Kugel | 15 |
| 0.1.7 | Grundformeln der analytischen Geometrie in der Ebene | 16 |
| 0.1.8 | Grundformeln der analytischen Geometrie des Raumes | 26 |
| 0.1.9 | Potenzen, Wurzeln und Logarithmen | 27 |
| 0.1.10 | Elementare algebraische Formeln | 30 |
| 0.1.11 | Wichtige Ungleichungen | 38 |
| 0.1.12 | Anwendung auf die Planetenbewegung - Triumph der Mathematik im Weltall | 43 |
| 0.2 | Elementare Funktionen und ihre graphische Darstellung | 47 |
| 0.2.1 | Transformation von Funktionen | 49 |
| 0.2.2 | Die lineare Funktion | 51 |
| 0.2.3 | Die quadratische Funktion | 51 |
| 0.2.4 | Die Potenzfunktion | 52 |
| 0.2.5 | Die Eulersche e-Funktion | 53 |
| 0.2.6 | Die Logarithmusfunktion | 55 |
| 0.2.7 | Die allgemeine Exponentialfunktion | 56 |
| 0.2.8 | Die Sinus- und Kosinusfunktion | 57 |
| 0.2.9 | Die Tangens- und Kotangensfunktion | 63 |
| 0.2.10 | Die Hyperbelfunktionen sinhx und coshx | 66 |
| 0.2.11 | Die Hyperbelfunktionen tanhx und cothx | 68 |
| 0.2.12 | Die inversen trigonometrischen Funktionen (zyklometrische Funktionen) | 70 |
| 0.2.13 | Die inversen Hyperbelfunktionen | 72 |
| 0.2.14 | Ganze rationale Funktionen | 74 |
| 0.2.15 | Gebrochen rationale Funktionen | 75 |
| 0.3 | Standard verfahren für Praktiker | 79 |
| 0.3.1 | Die wichtigsten empirischen Daten für eine Messreihe | 79 |
| 0.3.2 | Die theoretische Verteilungsfunktion | 81 |
| 0.3.3 | Das Testen einer Normalverteilung | 83 |
| 0.3.4 | Die statistische Auswertimg einer Messreihe | 83 |
| 0.3.5 | Der statistische Vergleich zweier Messreihen | 84 |
| 0.3.6 | Tabellen der mathematischen Statistik | 88 |
| 0.4 | Primzahltabelle | 102 |
| 0.5 | Reihen- und Produktformeln | 103 |
| 0.5.1 | Spezielle Reihen | 103 |
| 0.5.2 | Potenzreihen | 106 |
| 0.5.3 | Asymptotische Reihen | 117 |
| 0.5.4 | Fourierreihen | 120 |
| 0.5.5 | Unendliche Produkte | 125 |
| 0.6 | Tabellen zur Differentiation von Funktionen | 126 |
| 0.6.1 | Differentiation der elementaren Funktionen | 126 |
| 0.6.2 | Differentiationsregeln für Funktionen einer Variablen | 128 |
| 0.6.3 | Differentiationsregeln für Funktionen mehrerer Variabler | 130 |
| 0.7 | Tabellen zur Integration von Funktionen | 132 |
| 0.7.1 | Integration der elementaren Funktionen | 132 |
| 0.7.2 | Integrationsregeln | 134 |
| 0.7.3 | Die Integration rationaler Funktionen | 137 |
| 0.7.4 | Wichtige Substitutionen | 138 |
| 0.7.5 | Tabelle unbestimmter Integrale | 142 |
| 0.7.6 | Tabelle bestimmter Integrale | 179 |
| 0.8 | Tabellen zu den Integraltransformationen | 185 |
| 0.8.1 | Fouriertransformation | 185 |
| 0.8.2 | Laplacetransformation | 198 |
| 0.8.3 | Z-Transformation | 209 |
| Literatur zu Kapitel 0 | 213 | |
| 1 | Analysis | 215 |
| 1.1 | Elementare Analysis | 216 |
| 1.1.1 | Reelle Zahlen | 216 |
| 1.1.2 | Komplexe Zahlen | 222 |
| 1.1.3 | Anwendungen auf Schwingungen | 228 |
| 1.1.4 | Das Rechnen mit Gleichungen | 229 |
| 1.1.5 | Das Rechnen mit Ungleichungen | 231 |
| 1.2 | Grenzwerte von Zahlenfolgen | 233 |
| 1.2.1 | Grundideen | 233 |
| 1.2.2 | Die Hilbertsche Axiomatik der reellen Zahlen | 234 |
| 1.2.3 | Reelle Zahlenfolgen | 238 |
| 1.2.4 | Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen | 241 |
| 1.3 | Grenzwerte von Funktionen | 245 |
| 1.3.1 | Funktionen einer reellen Variablen | 245 |
| 1.3.2 | Metrische Räume und Punktmengen | 250 |
| 1.3.3 | Funktionen mehrerer reeller Variabler | 256 |
| 1.4 | Differentiation von Funktionen einer reellen Variablen | 259 |
| 1.4.1 | Die Ableitung | 259 |
| 1.4.2 | Die Kettenregel | 262 |
| 1.4.3 | Monotone Funktionen | 263 |
| 1.4.4 | Inverse Funktionen | 264 |
| 1.4.5 | Der Taylorsche Satz und das lokale Verhalten von Funktionen | 266 |
| 1.4.6 | Komplexwertige Funktionen | 277 |
| 1.5 | Differentiation von Funktionen mehrerer reeller Variabler | 277 |
| 1.5.1 | Partielle Ableitungen | 277 |
| 1.5.2 | Die Fréchet-Ableitung | 279 |
| 1.5.3 | Die Kettenregel | 282 |
| 1.5.4 | Anwendung auf die Transformation von Differentialoperatoren | 285 |
| 1.5.5 | Anwendung auf die Abhängigkeit von Funktionen | 288 |
| 1.5.6 | Der Satz über implizite Funktionen | 288 |
| 1.5.7 | Inverse Abbildungen | 291 |
| 1.5.8 | Die n-te Variation und der Taylorsche Satz | 293 |
| 1.5.9 | Anwendungen auf die Fehlerrechnung | 294 |
| 1.5.10 | Das Frechet-Differential | 296 |
| 1.6 | Integration von Funktionen einer reellen Variablen | 308 |
| 1.6.1 | Grundideen | 308 |
| 1.6.2 | Existenz des Integrals | 313 |
| 1.6.3 | Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung | 315 |
| 1.6.4 | Partielle Integration | 316 |
| 1.6.5 | Die Substitutionsregel | 317 |
| 1.6.6 | Integration über unbeschränkte Intervalle | 320 |
| 1.6.7 | Integration unbeschränkter Funktionen | 321 |
| 1.6.8 | Der Cauchysche Hauptwert | 322 |
| 1.6.9 | Anwendung auf die Bogenlänge | 322 |
| 1.6.10 | Eine Standardargumentation in der Physik | 323 |
| 1.7 | Integration von Funktionen mehrerer reeller Variabler | 324 |
| 1.7.1 | Grundideen | 325 |
| 1.7.2 | Existenz des Integrals | 333 |
| 1.7.3 | Rechenregeln | 336 |
| 1.7.4 | Das Prinzip des Cavalieri (iterierte Integration) | 338 |
| 1.7.5 | Die Substitutionsregel | 339 |
| 1.7.6 | Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz von Gauß-Stokes) | 340 |
| 1.7.7 | Das Riemannsche Flächenmaß | 347 |
| 1.7.8 | Partielle Integration | 349 |
| 1.7.9 | Krummlinige Koordinaten | 350 |
| 1.7.10 | Anwendungen auf den Schwerpunkt und das Trägheitsmoment | 353 |
| 1.7.11 | Parameterintegrale | 355 |
| 1.8 | Vektoralgebra | 356 |
| 1.8.1 | Linearkombinationen von Vektoren | 357 |
| 1.8.2 | Koordinatensysteme | 358 |
| 1.8.3 | Multiplikation von Vektoren | 361 |
| 1.9 | Vektoranalysis und physikalische Felder | 364 |
| 1.9.1 | Geschwindigkeit und Beschleunigung | 364 |
| 1.9.2 | Gradient, Divergenz und Rotation | 367 |
| 1.9.3 | Anwendungen auf Deformationen | 369 |
| 1.9.4 | Der Nablakalkül | 371 |
| 1.9.5 | Arbeit, Potential und Kurvenintegrale | 374 |
| 1.9.6 | Anwendungen auf die Erhaltungsgesetze der Mechanik | 376 |
| 1.9.7 | Masseströmungen, Erhaltungsgesetze und der Integralsatz von Gauß | 378 |
| 1.9.8 | Zirkulation, geschlossene Feldlinien und der Integralsatz von Stokes | 380 |
| 1.9.9 | Bestimmung eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln | 382 |
| 1.9.10 | Anwendungen auf die Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus | 383 |
| 1.9.11 | Der Zusammenhang der klassischen Vektoranalysis mit dem Cartanschen Differentialkalkül | 385 |
| 1.10 | Unendliche Reihen | 386 |
| 1.10.1 | Konvergenzkriterien | 387 |
| 1.10.2 | Das Rechnen mit unendlichen Reihen | 389 |
| 1.10.3 | Potenzreihen | 392 |
| 1.10.4 | Fourierreihen | 395 |
| 1.10.5 | Summation divergenter Reihen | 398 |
| 1.10.6 | Unendliche Produkte | 399 |
| 1.11 | Integraltransformationen | 401 |
| 1.11.1 | Die Laplacetransformation | 403 |
| 1.11.2 | Die Fouriertransformation | 408 |
| 1.11.3 | Die Z-Transformation | 414 |
| 1.12 | Gewöhnliche Differentialgleichungen | 418 |
| 1.12.1 | Einführende Beispiele | 418 |
| 1.12.2 | Grundideen | 427 |
| 1.12.3 | Die Klassifikation von Differentialgleichungen | 437 |
| 1.12.4 | Elementare Lösungsmethoden | 447 |
| 1.12.5 | Anwendungen | 464 |
| 1.12.6 | Lineare Differentialgleichungssysteme und der Propagator | 468 |
| 1.12.7 | Stabilität | 471 |
| 1.12.8 | Randwertaufgaben und die Greensche Funktion | 474 |
| 1.12.9 | Allgemeine Theorie | 479 |
| 1.13 | Partielle Differentialgleichungen | 482 |
| 1.13.1 | Gleichungen erster Ordnung der mathematischen Physik | 483 |
| 1.13.2 | Gleichungen zweiter Ordnimg der mathematischen Physik | 511 |
| 1.14 | Komplexe Funktionentheorie | 527 |
| 1.14.1 | Grundideen | 528 |
| 1.14.2 | Komplexe Zahlenfolgen | 529 |
| 1.14.3 | Differentiation | 530 |
| 1.14.4 | Integration | 532 |
| 1.14.5 | Die Sprache der Differentialformen | 536 |
| 1.14.6 | Darstellung von Funktionen | 539 |
| 1.14.7 | Der Residuenkalkül zur Berechnung von Integralen | 545 |
| 1.14.8 | Der Abbildungsgrad | 547 |
| 1.14.9 | Anwendungen auf den Fundamentalsatz der Algebra | 548 |
| 1.14.10 | Biholomorphe Abbildungen und der Riemannsche Abbildungssatz | 550 |
| 1.14.11 | Beispiele für konforme Abbildungen | 551 |
| 1.14.12 | Anwendungen auf harmonische Funktionen | 560 |
| 1.14.13 | Anwendungen in der Hydrodynamik | 563 |
| 1.14.14 | Anwendungen in der Elektrostatik und Magnetostatik | 566 |
| 1.14.15 | Analytische Fortsetzimg und das Permanenzprinzip | 566 |
| 1.14.16 | Anwendungen auf die Eulersche Gammafunktion | 570 |
| Literatur zu Kapitel 1 | 571 | |
| 2 | Algebra | 575 |
| 2.1 | Elementare Methoden | 575 |
| 2.1.1 | Kombinatorik | 575 |
| 2.1.2 | Determinanten | 578 |
| 2.1.3 | Matrizen | 582 |
| 2.1.4 | Lineare Gleichungssysteme | 586 |
| 2.1.5 | Das Rechnen mit Polynomen | 592 |
| 2.1.6 | Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra von Gauß | 594 |
| 2.1.7 | Partialbruchzerlegung | 601 |
| 2.2 | Matrizenkalkül | 602 |
| 2.2.1 | Das Spektrum einer Matrix | 602 |
| 2.2.2 | Normalformen von Matrizen | 604 |
| 2.2.3 | Matrizenfunktionen | 612 |
| 2.3 | Lineare Algebra | 614 |
| 2.3.1 | Grundideen | 614 |
| 2.3.2 | Lineare Räume | 615 |
| 2.3.3 | Lineare Operatoren | 617 |
| 2.3.4 | Das Rechnen mit linearen Räumen | 622 |
| 2.3.5 | Dualität | 626 |
| 2.5 | Algebraische Strukturen | 627 |
| 2.5.1 | Gruppen | 627 |
| 2.5.2 | Ringe | 633 |
| 2.5.3 | Körper | 636 |
| 2.6 | Galoistheorie und algebraische Gleichungen | 639 |
| 2.6.1 | Die drei berühmten Probleme der Antike | 639 |
| 2.6.2 | Der Hauptsatz der Galoistheorie | 639 |
| 2.6.3 | Der verallgemeinerte Fundamentalsatz der Algebra | 642 |
| 2.6.4 | Klassifikation von Körpererweiterungen | 643 |
| 2.6.5 | Der Hauptsatz über Gleichungen, die durch Radikale lösbar sind | 644 |
| 2.6.6 | Konstruktionen mit Zirkel und Lineal | 646 |
| 2.7 | Zahlentheorie | 649 |
| 2.7.1 | Grundideen | 649 |
| 2.7.2 | Der Euklidische Algorithmus | 651 |
| 2.7.3 | Die Verteilung der Primzahlen | 654 |
| Literatur zu Kapitel 2 | 660 | |
| 3 | Geometrie | 663 |
| 3.1 | Die Grundidee der Geometrie (Erlanger Programm) | 663 |
| 3.2 | Elementare Geometrie | 664 |
| 3.2.1 | Ebene Trigonometrie | 665 |
| 3.2.2 | Anwendungen in der Geodäsie | 672 |
| 3.2.3 | Sphärische Trigonometrie | 674 |
| 3.2.4 | Anwendungen im Schiffs- und Flugverkehr | 680 |
| 3.2.5 | Die Hilbertschen Axiome der Geometrie | 681 |
| 3.2.6 | Das Parallelenaxiom des Euklid | 685 |
| 3.2.7 | Die nichteuklidische elliptische Geometrie | 685 |
| 3.2.8 | Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie | 686 |
| 3.3 | Anwendungen der Vektoralgebra in der analytischen Geometrie | 689 |
| 3.3.1 | Geraden in der Ebene | 689 |
| 3.3.2 | Geraden und Ebenen im Raum | 691 |
| 3.3.3 | Volumina | 693 |
| 3.4 | Euklidische Geometrie (Geometrie der Bewegungen) | 693 |
| 3.4.1 | Die euklidische Bewegungsgruppe | 693 |
| 3.4.2 | Kegelschnitte | 694 |
| 3.4.3 | Flächen zweiter Ordnung | 697 |
| 3.6 | Differentialgeometrie | 701 |
| 3.6.1 | Ebene Kurven | 702 |
| 3.6.2 | Raumkurven | 708 |
| 3.6.3 | Die lokale Gaußsche Flächentheorie | 712 |
| 3.6.4 | Globale Gaußsche Flächentheorie | 722 |
| Literatur zu Kapitel 3 | 722 | |
| 4 | Grundlagen der Mathematik | 727 |
| 4.1 | Der Sprachgebrauch in der Mathematik | 727 |
| 4.1.1 | Wahre und falsche Aussagen | 727 |
| 4.1.2 | Implikationen | 728 |
| 4.1.3 | Tautologien und logische Gesetze | 730 |
| 4.2 | Beweismethoden | 732 |
| 4.2.1 | Indirekte Beweise | 732 |
| 4.2.2 | Induktionsbeweise | 732 |
| 4.2.3 | Eindeutigkeitsbeweise | 733 |
| 4.2.4 | Existenzbeweise | 733 |
| 4.2.5 | Die Notwendigkeit von Beweisen im Computerzeitalter | 735 |
| 4.2.6 | Falsche Beweise | 737 |
| 4.3 | Anschauliche Mengentheorie | 738 |
| 4.3.1 | Grundideen | 738 |
| 4.3.2 | Das Rechnen mit Mengen | 740 |
| 4.3.3 | Abbildungen | 743 |
| 4.3.4 | Gleichmächtige Mengen | 747 |
| 4.3.5 | Relationen | 748 |
| 4.3.6 | Mengensysteme | 750 |
| 4.4 | Mathematische Logik | 751 |
| 4.4.1 | Aussagenlogik | 751 |
| 4.4.2 | Prädikatenlogik | 754 |
| 4.4.3 | Die Axiome der Mengentheorie | 756 |
| 4.4.4 | Cantors Strukturierung des Unendlichen | 757 |
| 4.5 | Geschichte der axiomatischen Methode | 760 |
| Literatur zu Kapitel 4 | 763 | |
| 5 | Variationsrechnung und Physik | 765 |
| 5.1 | Variationsrechnung für Funktionen einer Variablen | 766 |
| 5.1.1 | Die Euler-Lagrangeschen Gleichungen | 766 |
| 5.1.2 | Anwendungen | 769 |
| 5.1.3 | Die Hamiltonschen Gleichungen | 776 |
| 5.1.4 | Anwendungen | 781 |
| 5.1.5 | Hinreichende Bedingungen für ein lokales Minimum | 784 |
| 5.1.6 | Probleme mit Nebenbedingungen und Lagrangesche Multiplikatoren | 787 |
| 5.1.7 | Anwendungen | 788 |
| 5.1.8 | Natürliche Randbedingungen | 791 |
| 5.2 | Variationsrechnung für Funktionen mehrerer Variabler | 793 |
| 5.2.1 | Die Euler-Lagrangeschen Gleichungen | 793 |
| 5.2.2 | Anwendungen | 793 |
| 5.2.3 | Probleme mit Nebenbedingungen und Lagrangesche Multiplikatoren | 797 |
| 5.3 | Steuerungsprobleme | 798 |
| 5.3.1 | Bellmansche dynamische Optimierung | 799 |
| 5.3.2 | Anwendungen | 800 |
| 5.3.3 | Das Pontrjaginsche Maximumprinzip | 801 |
| 5.3.4 | Anwendungen | 802 |
| 5.4 | Extremwertaufgaben | 804 |
| 5.4.1 | Lokale Minimumprobleme | 804 |
| 5.4.2 | Globale Minimumprobleme und Konvexität | 805 |
| 5.4.3 | Anwendungen auf die Methode der kleinsten Quadrate von Gauß | 805 |
| 5.4.4 | Anwendungen auf Pseudoinverse | 806 |
| 5.4.5 | Probleme mit Nebenbedingungen und Lagrangesche Multiplikatoren | 807 |
| 5.4.6 | Anwendungen auf die Entropie | 808 |
| 5.4.7 | Der Subgradient | 809 |
| 5.4.8 | Dualitätstheorie und Sattelpunkte | 810 |
| Literatur zu Kapitel 5 | 811 | |
| 6 | Stochastik - Mathematik des Zufalls | 813 |
| 6.1 | Elementare Stochastik | 814 |
| 6.1.1 | Das klassische Wahrscheinlichkeitsmodell | 815 |
| 6.1.2 | Das Gesetz der großen Zahl von Jakob Bernoulli | 817 |
| 6.1.3 | Der Grenzwertsatz von Moivre | 818 |
| 6.1.4 | Die Gaußsche Normalverteilung | 819 |
| 6.1.5 | Der Korrelationskoeffizient | 821 |
| 6.1.6 | Anwendungen auf die klassische statistische Physik | 824 |
| 6.2 | Die Kolmogorowschen Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung | 827 |
| 6.2.1 | Das Rechnen mit Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten | 830 |
| 6.2.2 | Zufällige Variable | 834 |
| 6.2.3 | Zufallsvektoren | 840 |
| 6.2.4 | Grenzwertsätze | 845 |
| 6.2.5 | Anwendungen auf das Bernoullische Modell für Folgen unabhängiger Versuche | 847 |
| 6.3 | Mathematische Statistik | 855 |
| 6.3.1 | Grundideen | 855 |
| 6.3.2 | Wichtige Schätzfunktionen | 857 |
| 6.3.3 | Die Untersuchung normalverteilter Messgrößen | 858 |
| 6.3.4 | Die empirische Verteilungsfunktion | 861 |
| 6.3.5 | Die Maximum-Likelihood-Methode zur Gewinnung von Parameterschätzungen | 867 |
| 6.3.6 | Multivariate Analysen | 869 |
| Literatur zu Kapitel 6 | 871 | |
| 7 | Numerik und Wissenschaftliches Rechnen | 875 |
| 7.1 | Numerisches Rechnen und Fehleranalyse | 876 |
| 7.1.1 | Begriff des Algorithmus | 876 |
| 7.1.2 | Zahldarstellung in Computern | 876 |
| 7.1.3 | Fehlerquellen, Fehlererfassung, Kondition und Stabilität | 878 |
| 7.2 | Lineare Algebra | 879 |
| 7.2.1 | Lineare Gleichungssysteme - direkte Methoden | 879 |
| 7.2.2 | Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme | 884 |
| 7.2.3 | Eigenwertprobleme | 884 |
| 7.2.4 | Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate | 889 |
| 7.3 | Interpolation, numerische Differentiation und Quadratur | 893 |
| 7.3.1 | Interpolationspolynome | 893 |
| 7.3.2 | Numerische Differentiation | 898 |
| 7.3.3 | Numerische Quadratur | 898 |
| 7.4 | Nichtlineare Probleme | 903 |
| 7.4.1 | Nichtlineare Gleichungen | 903 |
| 7.4.2 | Nichtlineare Gleichungssysteme | 905 |
| 7.4.3 | Berechnung der Nullstellen von Polynomen | 907 |
| 7.5 | Approximation | 909 |
| 7.5.1 | Approximation im quadratischen Mittel | 909 |
| 7.5.2 | Gleichmäßige Approximation | 913 |
| 7.5.3 | Genäherte gleichmäßige Approximation | 914 |
| 7.6 | Gewöhnliche Differentialgleichungen | 915 |
| 7.6.1 | Anfangswertprobleme | 915 |
| 7.6.2 | Randwertprobleme | 924 |
| 7.7 | Partielle Differentialgleichungen und Wissenschaftliches Rechnen | 927 |
| 7.7.1 | Grundideen | 927 |
| 7.7.2 | Diskretisierungsverfahren in der Übersicht | 928 |
| 7.7.3 | Elliptische Differentialgleichungen | 932 |
| 7.7.4 | Parabolische Differentialgleichungen | 941 |
| 7.7.5 | Hyperbolische Differentialgleichungen | 944 |
| 7.7.6 | Adaptive Diskretisierungsverfahren | 951 |
| 7.7.7 | Iterative Lösung von Gleichungssystemen | 954 |
| 7.7.8 | Randelementmethode | 963 |
| 7.7.9 | Technik der hierarchischen Matrizen | 965 |
| 7.7.10 | Harmonische Analyse | 967 |
| 7.7.11 | Inverse Probleme | 977 |
| Literatur zu Kapitel 7 | 979 | |
| 8 | Wirtschafts- und Finanzmathematik | 981 |
| 8.1 | Klassische Finanzmathematik und Anwendungen | 981 |
| 8.1.1 | Lineare Verzinsung | 981 |
| 8.1.2 | Zinseszinsrechnung (geometrische Verzinsung) | 982 |
| 8.1.3 | Rentenrechnung | 984 |
| 8.1.4 | Tilgungsrechnung | 986 |
| 8.1.5 | Kursrechnung | 988 |
| 8.1.6 | Barwerte und Renditen | 988 |
| 8.1.7 | Zinsstrukturkurve | 990 |
| 8.1.8 | Risikokennzahlen festverzinslicher Wertpapiere | 992 |
| 8.1.9 | Risikokennzahlen und Rendite von Portfolios | 995 |
| 8.1.10 | Finanzinnovationen | 996 |
| 8.2 | Lebensversicherungsmathematik | 997 |
| 8.2.1 | Versicherungsformen | 998 |
| 8.2.2 | Sterbewahrscheinlichkeiten und Sterbetafeln | 998 |
| 8.2.3 | Die Zahlungsströme eines Lebensversicherungsvertrages | 1000 |
| 8.2.4 | Die Bewertung von Zahlungsströmen und Lebensversicherungsverträgen | 1002 |
| 8.2.5 | Äquivalenzprinzip und Nettoprämie | 1003 |
| 8.2.6 | Prospektives Deckungskapital | 1003 |
| 8.2.7 | Prämienarten | 1003 |
| 8.2.8 | Der Satz von Hattendorf | 1004 |
| 8.3 | Schadenversicherungsmathematik | 1005 |
| 8.3.1 | Das kollektive Modell für eine Versicherungsperiode | 1005 |
| 8.3.2 | Berechnung der Gesamtschadenverteilung | 1007 |
| 8.3.3 | Ruintheorie, Cramér-Lundberg-Modell | 1010 |
| 8.3.4 | Rückversicherung und Risikoteilung | 1014 |
| 8.3.5 | Elemente der klassischen Extremwerttheorie | 1014 |
| 8.4 | Finanzmathematik in zeitlich diskreten Marktmodellen | 1015 |
| 8.4.1 | Wertanlagen, Handelsstrategien und Arbitrage | 1015 |
| 8.4.2 | Absicherung und arbitragefreie Bewertung von Optionen | 1017 |
| 8.5 | Finanzmathematik in zeitstetigen Marktmodellen | 1021 |
| 8.5.1 | Wertprozesse und Handelsstrategien | 1021 |
| 8.5.2 | Der Itö-Kalkül | 1022 |
| 8.5.3 | Das Black-Scholes-Modell | 1025 |
| 8.6 | Lineare Optimierung | 1030 |
| 8.6.1 | Primale und duale Aufgabe | 1030 |
| 8.6.2 | Primaler Simplexalgorithmus | 1033 |
| 8.6.3 | Innere-Punkte-Methode | 1035 |
| 8.6.4 | Parametrische lineare Optimierung | 1037 |
| 8.6.5 | Das klassische Transportproblem | 1039 |
| 8.6.6 | Das Engpasstransportproblem | 1041 |
| xviii | ||
| 8.7 | Nichtlineare Optimierung | 1042 |
| 8.7.1 | Optimalitätsbedingungen bei allgemeinen Nebenbedingungen | 1044 |
| 8.7.2 | Optimalitätsbedingungen bei expliziten Nebenbedingungen | 1045 |
| 8.7.3 | Lagrange-Dualität | 1048 |
| 8.7.4 | Sattelpunkte | 1050 |
| 8.7.5 | Lösung freier nichtlinearer Optimierungsaufgaben | 1050 |
| 8.7.6 | Lösung restringierter Optimierungsaufgaben | 1051 |
| 8.8 | Diskrete Optimierimg | 1053 |
| 8.8.1 | Exakte Lösung von diskreten Optimierungsaufgaben | 1054 |
| 8.8.2 | Dualität | 1058 |
| 8.8.3 | Näherungsalgorithmen | 1060 |
| 8.8.4 | Matroide und der Greedy-Algorithmus | 1060 |
| 8.8.5 | Spezielle Probleme | 1061 |
| 8.9 | Optimierungsprobleme über Graphen | 1062 |
| 8.9.1 | Kürzeste Wege in gerichteten Graphen | 1063 |
| 8.9.2 | Minimalgerüste | 1064 |
| 8.9.3 | Flussprobleme | 1065 |
| 8.9.4 | Kostenminimale Flüsse | 1067 |
| 8.9.5 | Matchings minimalen Gewichtes | 1068 |
| 8.9.6 | Eulersche Graphen und das Problem des chinesischen Postboten | 1070 |
| 8.9.7 | Hamiltonkreise und das Rundreiseproblem | 1071 |
| 8.10 | Mathematische Spieltheorie | 1073 |
| 8.10.1 | Problemstellung | 1073 |
| 8.10.2 | Nash-Gleichgewicht | 1073 |
| 8.11 | Vektoroptimierung | 1075 |
| 8.11.1 | Problemstellung und grundlegende Begriffe | 1075 |
| 8.11.2 | Lineare Skalarisierung und Optimalitätsbedingungen | 1079 |
| 8.11.3 | Weitere Skalarisierungstechniken | 1081 |
| 8.11.4 | Karush-Kuhn-Tucker-Optimalitätsbedingungen | 1082 |
| 8.11.5 | Dualität | 1083 |
| 8.12 | Portfoliooptimierung | 1084 |
| 8.12.1 | Das Markowitz-Portfoliooptimierungsproblem | 1085 |
| 8.12.2 | Lineare Skalarisierung und eigentlich effiziente Portfolios | 1086 |
| 8.12.3 | Dualität und Optimalitätsbedingungen | 1089 |
| 8.12.4 | Erweiterungen | 1089 |
| 8.13 | Anwendungen der Differentialrechnung in den Wirtschaftswissenschaften | 1090 |
| 8.13.1 | Funktionswertänderungen bei Funktionen einer Veränderlichen | 1090 |
| 8.13.2 | Funktionswertänderungen bei Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher | 1094 |
| 8.13.3 | Extremwertprobleme in den Wirtschaftswissenschaften | 1095 |
| Literatur zu Kapitel 8 | 1098 | |
| 9 | Algorithmik und Informatik | 1101 |
| 9.1 | Geschichte der Informatik | 1101 |
| 9.2 | Alphabete, Wörter, Sprachen und Aufgaben | 1107 |
| 9.2.1 | Zielsetzung | 1107 |
| 9.2.2 | Alphabete, Wörter und Sprachen | 1108 |
| 9.2.3 | Algorithmische Probleme | 1112 |
| 9.3 | Endliche Automaten | 1119 |
| 9.3.1 | Zielsetzung | 1119 |
| 9.3.2 | Die Darstellungen der endlichen Automaten | 1120 |
| 9.3.3 | Simulationen | 1130 |
| 9.3.4 | Beweise der Nichtexistenz | 1133 |
| 9.3.5 | Nichtdeterminismus | 1138 |
| 9.4 | Turingmaschinen | 1145 |
| 9.4.1 | Zielsetzung | 1145 |
| 9.4.2 | Das Modell der Turingmaschine | 1146 |
| 9.4.3 | Mehrband-Turingmaschinen und Churchsche These | 1153 |
| 9.4.4 | Nichtdeterministische Turingmaschinen | 1160 |
| 9.4.5 | Kodierimg von Turingmaschinen | 1164 |
| 9.5 | Berechenbarkeit | 1165 |
| 9.5.1 | Zielsetzung | 1165 |
| 9.5.2 | Die Methode der Diagonalisierung | 1166 |
| 9.5.3 | Die Methode der Reduktion | 1172 |
| 9.5.4 | Satz von Rice | 1180 |
| 9.6 | Komplexitätstheorie | 1183 |
| 9.6.1 | Zielsetzung | 1183 |
| 9.6.2 | Komplexitätsmaße | 1184 |
| 9.6.3 | Komplexitätsklassen und die Klasse P | 1189 |
| 9.6.4 | Nichtdeterministische Komplexitätsmaße | 1192 |
| 9.6.5 | Die Klasse NP und Beweisverifikation | 1195 |
| 9.6.6 | NP-Vollständigkeit | 1198 |
| 9.7 | Algorithmik für schwere Probleme | 1213 |
| 9.7.1 | Zielsetzung | 1213 |
| 9.7.2 | Approximationsalgorithmen | 1214 |
| 9.7.3 | Lokale Suche | 1219 |
| 9.7.4 | Simulated Annealing | 1222 |
| 9.8 | Randomisierung | 1224 |
| 9.8.1 | Zielsetzung | 1224 |
| 9.8.2 | Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie | 1226 |
| 9.8.3 | Ein randomisiertes Kommunikationsprotokoll | 1228 |
| 9.8.4 | Die Methode der Fingerabdrücke und die Äquivalenz von zwei Polynomen | 1231 |
| 9.9 | Zusammenfassung und Ausblick | 1235 |
| 9.10 | Unscharfe Mengen und Fuzzy-Methoden | 1238 |
| 9.10.1 | Unschärfe und mathematische Modellierung | 1238 |
| 9.10.2 | Mengenalgebra | 1239 |
| 9.10.3 | Unscharfe Zahlen und ihre Arithmetik | 1250 |
| 9.10.4 | Unscharfe Variable | 1256 |
| 9.10.5 | Unscharfe Relationen | 1257 |
| 9.10.6 | Unschärfemaße | 1259 |
| 9.10.7 | Wahrscheinlichkeiten unscharfer Ereignisse | 1261 |
| 9.10.8 | Unscharfe Maße | 1262 |
| Literatur zu Kapitel 9 | 1263 | |
| Zeittafel zur Geschichte der Mathematik | 1267 | |
| Literatur zur Geschichte der Mathematik | 1272 | |
| Mathematische Symbole | 1275 | |
| Index | 1282 | |
