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Teubner B.G. Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| Vorwort | v | |
| Einleitung | 1 | |
| 0 | Wichtige Formeln, Graphische Darstellungen und Tabellen | 3 |
| 0.1 | Grundformeln der Elementarmathematik | 3 |
| 0.1.1 | Mathematische Konstanten | 3 |
| 0.1.2 | Winkelmessimg | 5 |
| 0.1.3 | Flächeninhalt und Umfang ebener Figuren | 7 |
| 0.1.4 | Volumen und Oberflächen von Körpern | 11 |
| 0.1.5 | Volumen und Oberfläche der regulären Polyeder | 14 |
| 0.1.6 | Volumen und Oberfläche der n-dimensionalen Kugel | 15 |
| 0.1.7 | Grundformeln der analytischen Geometrie in der Ebene | 16 |
| 0.1.8 | Grundformeln der analytischen Geometrie des Raumes | 26 |
| 0.1.9 | Potenzen, Wurzeln und Logarithmen | 27 |
| 0.1.10 | Elementare algebraische Formeln | 30 |
| 0.1.11 | Wichtige Ungleichungen | 38 |
| 0.1.12 | Anwendung auf die Planetenbewegung - Triumph der Mathematik im Weltall | 43 |
| 0.2 | Elementare Funktionen und ihre graphische Darstellung | 47 |
| 0.2.1 | Transformation von Funktionen | 49 |
| 0.2.2 | Die lineare Funktion | 51 |
| 0.2.3 | Die quadratische Funktion | 51 |
| 0.2.4 | Die Potenzfunktion | 52 |
| 0.2.5 | Die Eulersche e-Funktion | 53 |
| 0.2.6 | Die Logarithmusfunktion | 55 |
| 0.2.7 | Die allgemeine Exponentialfunktion | 56 |
| 0.2.8 | Die Sinus- und Kosinusfunktion | 57 |
| 0.2.9 | Die Tangens- und Kotangensfunktion | 63 |
| 0.2.10 | Die Hyperbelfunktionen sinhx und coshx | 66 |
| 0.2.11 | Die Hyperbelfunktionen tanhx und cothx | 68 |
| 0.2.12 | Die inversen trigonometrischen Funktionen (zyklometrische Funktionen) | 70 |
| 0.2.13 | Die inversen Hyperbelfunktionen | 72 |
| 0.2.14 | Ganze rationale Funktionen | 74 |
| 0.2.15 | Gebrochen rationale Funktionen | 75 |
| 0.3 | Standard verfahren für Praktiker | 79 |
| 0.3.1 | Die wichtigsten empirischen Daten für eine Messreihe | 79 |
| 0.3.2 | Die theoretische Verteilungsfunktion | 81 |
| 0.3.3 | Das Testen einer Normalverteilung | 83 |
| 0.3.4 | Die statistische Auswertimg einer Messreihe | 83 |
| 0.3.5 | Der statistische Vergleich zweier Messreihen | 84 |
| 0.3.6 | Tabellen der mathematischen Statistik | 88 |
| 0.4 | Primzahltabelle | 102 |
| 0.5 | Reihen- und Produktformeln | 103 |
| 0.5.1 | Spezielle Reihen | 103 |
| 0.5.2 | Potenzreihen | 106 |
| 0.5.3 | Asymptotische Reihen | 117 |
| 0.5.4 | Fourierreihen | 120 |
| 0.5.5 | Unendliche Produkte | 125 |
| 0.6 | Tabellen zur Differentiation von Funktionen | 126 |
| 0.6.1 | Differentiation der elementaren Funktionen | 126 |
| 0.6.2 | Differentiationsregeln für Funktionen einer Variablen | 128 |
| 0.6.3 | Differentiationsregeln für Funktionen mehrerer Variabler | 130 |
| 0.7 | Tabellen zur Integration von Funktionen | 132 |
| 0.7.1 | Integration der elementaren Funktionen | 132 |
| 0.7.2 | Integrationsregeln | 134 |
| 0.7.3 | Die Integration rationaler Funktionen | 137 |
| 0.7.4 | Wichtige Substitutionen | 138 |
| 0.7.5 | Tabelle unbestimmter Integrale | 142 |
| 0.7.6 | Tabelle bestimmter Integrale | 179 |
| 0.8 | Tabellen zu den Integraltransformationen | 185 |
| 0.8.1 | Fouriertransformation | 185 |
| 0.8.2 | Laplacetransformation | 198 |
| 0.8.3 | Z-Transformation | 209 |
| Literatur zu Kapitel 0 | 213 | |
| 1 | Analysis | 215 |
| 1.1 | Elementare Analysis | 216 |
| 1.1.1 | Reelle Zahlen | 216 |
| 1.1.2 | Komplexe Zahlen | 222 |
| 1.1.3 | Anwendungen auf Schwingungen | 228 |
| 1.1.4 | Das Rechnen mit Gleichungen | 229 |
| 1.1.5 | Das Rechnen mit Ungleichungen | 231 |
| 1.2 | Grenzwerte von Zahlenfolgen | 233 |
| 1.2.1 | Grundideen | 233 |
| 1.2.2 | Die Hilbertsche Axiomatik der reellen Zahlen | 234 |
| 1.2.3 | Reelle Zahlenfolgen | 238 |
| 1.2.4 | Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen | 241 |
| 1.3 | Grenzwerte von Funktionen | 245 |
| 1.3.1 | Funktionen einer reellen Variablen | 245 |
| 1.3.2 | Metrische Räume und Punktmengen | 250 |
| 1.3.3 | Funktionen mehrerer reeller Variabler | 256 |
| 1.4 | Differentiation von Funktionen einer reellen Variablen | 259 |
| 1.4.1 | Die Ableitung | 259 |
| 1.4.2 | Die Kettenregel | 262 |
| 1.4.3 | Monotone Funktionen | 263 |
| 1.4.4 | Inverse Funktionen | 264 |
| 1.4.5 | Der Taylorsche Satz und das lokale Verhalten von Funktionen | 266 |
| 1.4.6 | Komplexwertige Funktionen | 277 |
| 1.5 | Differentiation von Funktionen mehrerer reeller Variabler | 277 |
| 1.5.1 | Partielle Ableitungen | 277 |
| 1.5.2 | Die Fréchet-Ableitung | 279 |
| 1.5.3 | Die Kettenregel | 282 |
| 1.5.4 | Anwendung auf die Transformation von Differentialoperatoren | 285 |
| 1.5.5 | Anwendung auf die Abhängigkeit von Funktionen | 288 |
| 1.5.6 | Der Satz über implizite Funktionen | 288 |
| 1.5.7 | Inverse Abbildungen | 291 |
| 1.5.8 | Die n-te Variation und der Taylorsche Satz | 293 |
| 1.5.9 | Anwendungen auf die Fehlerrechnung | 294 |
| 1.5.10 | Das Frechet-Differential | 296 |
| 1.6 | Integration von Funktionen einer reellen Variablen | 308 |
| 1.6.1 | Grundideen | 308 |
| 1.6.2 | Existenz des Integrals | 313 |
| 1.6.3 | Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung | 315 |
| 1.6.4 | Partielle Integration | 316 |
| 1.6.5 | Die Substitutionsregel | 317 |
| 1.6.6 | Integration über unbeschränkte Intervalle | 320 |
| 1.6.7 | Integration unbeschränkter Funktionen | 321 |
| 1.6.8 | Der Cauchysche Hauptwert | 322 |
| 1.6.9 | Anwendung auf die Bogenlänge | 322 |
| 1.6.10 | Eine Standardargumentation in der Physik | 323 |
| 1.7 | Integration von Funktionen mehrerer reeller Variabler | 324 |
| 1.7.1 | Grundideen | 325 |
| 1.7.2 | Existenz des Integrals | 333 |
| 1.7.3 | Rechenregeln | 336 |
| 1.7.4 | Das Prinzip des Cavalieri (iterierte Integration) | 338 |
| 1.7.5 | Die Substitutionsregel | 339 |
| 1.7.6 | Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz von Gauß-Stokes) | 340 |
| 1.7.7 | Das Riemannsche Flächenmaß | 347 |
| 1.7.8 | Partielle Integration | 349 |
| 1.7.9 | Krummlinige Koordinaten | 350 |
| 1.7.10 | Anwendungen auf den Schwerpunkt und das Trägheitsmoment | 353 |
| 1.7.11 | Parameterintegrale | 355 |
| 1.8 | Vektoralgebra | 356 |
| 1.8.1 | Linearkombinationen von Vektoren | 357 |
| 1.8.2 | Koordinatensysteme | 358 |
| 1.8.3 | Multiplikation von Vektoren | 361 |
| 1.9 | Vektoranalysis und physikalische Felder | 364 |
| 1.9.1 | Geschwindigkeit und Beschleunigung | 364 |
| 1.9.2 | Gradient, Divergenz und Rotation | 367 |
| 1.9.3 | Anwendungen auf Deformationen | 369 |
| 1.9.4 | Der Nablakalkül | 371 |
| 1.9.5 | Arbeit, Potential und Kurvenintegrale | 374 |
| 1.9.6 | Anwendungen auf die Erhaltungsgesetze der Mechanik | 376 |
| 1.9.7 | Masseströmungen, Erhaltungsgesetze und der Integralsatz von Gauß | 378 |
| 1.9.8 | Zirkulation, geschlossene Feldlinien und der Integralsatz von Stokes | 380 |
| 1.9.9 | Bestimmung eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln | 382 |
| 1.9.10 | Anwendungen auf die Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus | 383 |
| 1.9.11 | Der Zusammenhang der klassischen Vektoranalysis mit dem Cartanschen Differentialkalkül | 385 |
| 1.10 | Unendliche Reihen | 386 |
| 1.10.1 | Konvergenzkriterien | 387 |
| 1.10.2 | Das Rechnen mit unendlichen Reihen | 389 |
| 1.10.3 | Potenzreihen | 392 |
| 1.10.4 | Fourierreihen | 395 |
| 1.10.5 | Summation divergenter Reihen | 398 |
| 1.10.6 | Unendliche Produkte | 399 |
| 1.11 | Integraltransformationen | 401 |
| 1.11.1 | Die Laplacetransformation | 403 |
| 1.11.2 | Die Fouriertransformation | 408 |
| 1.11.3 | Die Z-Transformation | 414 |
| 1.12 | Gewöhnliche Differentialgleichungen | 418 |
| 1.12.1 | Einführende Beispiele | 418 |
| 1.12.2 | Grundideen | 427 |
| 1.12.3 | Die Klassifikation von Differentialgleichungen | 437 |
| 1.12.4 | Elementare Lösungsmethoden | 447 |
| 1.12.5 | Anwendungen | 464 |
| 1.12.6 | Lineare Differentialgleichungssysteme und der Propagator | 468 |
| 1.12.7 | Stabilität | 471 |
| 1.12.8 | Randwertaufgaben und die Greensche Funktion | 474 |
| 1.12.9 | Allgemeine Theorie | 479 |
| 1.13 | Partielle Differentialgleichungen | 482 |
| 1.13.1 | Gleichungen erster Ordnung der mathematischen Physik | 483 |
| 1.13.2 | Gleichungen zweiter Ordnimg der mathematischen Physik | 511 |
| 1.14 | Komplexe Funktionentheorie | 527 |
| 1.14.1 | Grundideen | 528 |
| 1.14.2 | Komplexe Zahlenfolgen | 529 |
| 1.14.3 | Differentiation | 530 |
| 1.14.4 | Integration | 532 |
| 1.14.5 | Die Sprache der Differentialformen | 536 |
| 1.14.6 | Darstellung von Funktionen | 539 |
| 1.14.7 | Der Residuenkalkül zur Berechnung von Integralen | 545 |
| 1.14.8 | Der Abbildungsgrad | 547 |
| 1.14.9 | Anwendungen auf den Fundamentalsatz der Algebra | 548 |
| 1.14.10 | Biholomorphe Abbildungen und der Riemannsche Abbildungssatz | 550 |
| 1.14.11 | Beispiele für konforme Abbildungen | 551 |
| 1.14.12 | Anwendungen auf harmonische Funktionen | 560 |
| 1.14.13 | Anwendungen in der Hydrodynamik | 563 |
| 1.14.14 | Anwendungen in der Elektrostatik und Magnetostatik | 566 |
| 1.14.15 | Analytische Fortsetzimg und das Permanenzprinzip | 566 |
| 1.14.16 | Anwendungen auf die Eulersche Gammafunktion | 570 |
| Literatur zu Kapitel 1 | 571 | |
| 2 | Algebra | 575 |
| 2.1 | Elementare Methoden | 575 |
| 2.1.1 | Kombinatorik | 575 |
| 2.1.2 | Determinanten | 578 |
| 2.1.3 | Matrizen | 582 |
| 2.1.4 | Lineare Gleichungssysteme | 586 |
| 2.1.5 | Das Rechnen mit Polynomen | 592 |
| 2.1.6 | Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra von Gauß | 594 |
| 2.1.7 | Partialbruchzerlegung | 601 |
| 2.2 | Matrizenkalkül | 602 |
| 2.2.1 | Das Spektrum einer Matrix | 602 |
| 2.2.2 | Normalformen von Matrizen | 604 |
| 2.2.3 | Matrizenfunktionen | 612 |
| 2.3 | Lineare Algebra | 614 |
| 2.3.1 | Grundideen | 614 |
| 2.3.2 | Lineare Räume | 615 |
| 2.3.3 | Lineare Operatoren | 617 |
| 2.3.4 | Das Rechnen mit linearen Räumen | 622 |
| 2.3.5 | Dualität | 626 |
| 2.5 | Algebraische Strukturen | 627 |
| 2.5.1 | Gruppen | 627 |
| 2.5.2 | Ringe | 633 |
| 2.5.3 | Körper | 636 |
| 2.6 | Galoistheorie und algebraische Gleichungen | 639 |
| 2.6.1 | Die drei berühmten Probleme der Antike | 639 |
| 2.6.2 | Der Hauptsatz der Galoistheorie | 639 |
| 2.6.3 | Der verallgemeinerte Fundamentalsatz der Algebra | 642 |
| 2.6.4 | Klassifikation von Körpererweiterungen | 643 |
| 2.6.5 | Der Hauptsatz über Gleichungen, die durch Radikale lösbar sind | 644 |
| 2.6.6 | Konstruktionen mit Zirkel und Lineal | 646 |
| 2.7 | Zahlentheorie | 649 |
| 2.7.1 | Grundideen | 649 |
| 2.7.2 | Der Euklidische Algorithmus | 651 |
| 2.7.3 | Die Verteilung der Primzahlen | 654 |
| Literatur zu Kapitel 2 | 660 | |
| 3 | Geometrie | 663 |
| 3.1 | Die Grundidee der Geometrie (Erlanger Programm) | 663 |
| 3.2 | Elementare Geometrie | 664 |
| 3.2.1 | Ebene Trigonometrie | 665 |
| 3.2.2 | Anwendungen in der Geodäsie | 672 |
| 3.2.3 | Sphärische Trigonometrie | 674 |
| 3.2.4 | Anwendungen im Schiffs- und Flugverkehr | 680 |
| 3.2.5 | Die Hilbertschen Axiome der Geometrie | 681 |
| 3.2.6 | Das Parallelenaxiom des Euklid | 685 |
| 3.2.7 | Die nichteuklidische elliptische Geometrie | 685 |
| 3.2.8 | Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie | 686 |
| 3.3 | Anwendungen der Vektoralgebra in der analytischen Geometrie | 689 |
| 3.3.1 | Geraden in der Ebene | 689 |
| 3.3.2 | Geraden und Ebenen im Raum | 691 |
| 3.3.3 | Volumina | 693 |
| 3.4 | Euklidische Geometrie (Geometrie der Bewegungen) | 693 |
| 3.4.1 | Die euklidische Bewegungsgruppe | 693 |
| 3.4.2 | Kegelschnitte | 694 |
| 3.4.3 | Flächen zweiter Ordnung | 697 |
| 3.6 | Differentialgeometrie | 701 |
| 3.6.1 | Ebene Kurven | 702 |
| 3.6.2 | Raumkurven | 708 |
| 3.6.3 | Die lokale Gaußsche Flächentheorie | 712 |
| 3.6.4 | Globale Gaußsche Flächentheorie | 722 |
| Literatur zu Kapitel 3 | 722 | |
| 4 | Grundlagen der Mathematik | 727 |
| 4.1 | Der Sprachgebrauch in der Mathematik | 727 |
| 4.1.1 | Wahre und falsche Aussagen | 727 |
| 4.1.2 | Implikationen | 728 |
| 4.1.3 | Tautologien und logische Gesetze | 730 |
| 4.2 | Beweismethoden | 732 |
| 4.2.1 | Indirekte Beweise | 732 |
| 4.2.2 | Induktionsbeweise | 732 |
| 4.2.3 | Eindeutigkeitsbeweise | 733 |
| 4.2.4 | Existenzbeweise | 733 |
| 4.2.5 | Die Notwendigkeit von Beweisen im Computerzeitalter | 735 |
| 4.2.6 | Falsche Beweise | 737 |
| 4.3 | Anschauliche Mengentheorie | 738 |
| 4.3.1 | Grundideen | 738 |
| 4.3.2 | Das Rechnen mit Mengen | 740 |
| 4.3.3 | Abbildungen | 743 |
| 4.3.4 | Gleichmächtige Mengen | 747 |
| 4.3.5 | Relationen | 748 |
| 4.3.6 | Mengensysteme | 750 |
| 4.4 | Mathematische Logik | 751 |
| 4.4.1 | Aussagenlogik | 751 |
| 4.4.2 | Prädikatenlogik | 754 |
| 4.4.3 | Die Axiome der Mengentheorie | 756 |
| 4.4.4 | Cantors Strukturierung des Unendlichen | 757 |
| 4.5 | Geschichte der axiomatischen Methode | 760 |
| Literatur zu Kapitel 4 | 763 | |
| 5 | Variationsrechnung und Physik | 765 |
| 5.1 | Variationsrechnung für Funktionen einer Variablen | 766 |
| 5.1.1 | Die Euler-Lagrangeschen Gleichungen | 766 |
| 5.1.2 | Anwendungen | 769 |
| 5.1.3 | Die Hamiltonschen Gleichungen | 776 |
| 5.1.4 | Anwendungen | 781 |
| 5.1.5 | Hinreichende Bedingungen für ein lokales Minimum | 784 |
| 5.1.6 | Probleme mit Nebenbedingungen und Lagrangesche Multiplikatoren | 787 |
| 5.1.7 | Anwendungen | 788 |
| 5.1.8 | Natürliche Randbedingungen | 791 |
| 5.2 | Variationsrechnung für Funktionen mehrerer Variabler | 793 |
| 5.2.1 | Die Euler-Lagrangeschen Gleichungen | 793 |
| 5.2.2 | Anwendungen | 793 |
| 5.2.3 | Probleme mit Nebenbedingungen und Lagrangesche Multiplikatoren | 797 |
| 5.3 | Steuerungsprobleme | 798 |
| 5.3.1 | Bellmansche dynamische Optimierung | 799 |
| 5.3.2 | Anwendungen | 800 |
| 5.3.3 | Das Pontrjaginsche Maximumprinzip | 801 |
| 5.3.4 | Anwendungen | 802 |
| 5.4 | Extremwertaufgaben | 804 |
| 5.4.1 | Lokale Minimumprobleme | 804 |
| 5.4.2 | Globale Minimumprobleme und Konvexität | 805 |
| 5.4.3 | Anwendungen auf die Methode der kleinsten Quadrate von Gauß | 805 |
| 5.4.4 | Anwendungen auf Pseudoinverse | 806 |
| 5.4.5 | Probleme mit Nebenbedingungen und Lagrangesche Multiplikatoren | 807 |
| 5.4.6 | Anwendungen auf die Entropie | 808 |
| 5.4.7 | Der Subgradient | 809 |
| 5.4.8 | Dualitätstheorie und Sattelpunkte | 810 |
| Literatur zu Kapitel 5 | 811 | |
| 6 | Stochastik - Mathematik des Zufalls | 813 |
| 6.1 | Elementare Stochastik | 814 |
| 6.1.1 | Das klassische Wahrscheinlichkeitsmodell | 815 |
| 6.1.2 | Das Gesetz der großen Zahl von Jakob Bernoulli | 817 |
| 6.1.3 | Der Grenzwertsatz von Moivre | 818 |
| 6.1.4 | Die Gaußsche Normalverteilung | 819 |
| 6.1.5 | Der Korrelationskoeffizient | 821 |
| 6.1.6 | Anwendungen auf die klassische statistische Physik | 824 |
| 6.2 | Die Kolmogorowschen Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung | 827 |
| 6.2.1 | Das Rechnen mit Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten | 830 |
| 6.2.2 | Zufällige Variable | 834 |
| 6.2.3 | Zufallsvektoren | 840 |
| 6.2.4 | Grenzwertsätze | 845 |
| 6.2.5 | Anwendungen auf das Bernoullische Modell für Folgen unabhängiger Versuche | 847 |
| 6.3 | Mathematische Statistik | 855 |
| 6.3.1 | Grundideen | 855 |
| 6.3.2 | Wichtige Schätzfunktionen | 857 |
| 6.3.3 | Die Untersuchung normalverteilter Messgrößen | 858 |
| 6.3.4 | Die empirische Verteilungsfunktion | 861 |
| 6.3.5 | Die Maximum-Likelihood-Methode zur Gewinnung von Parameterschätzungen | 867 |
| 6.3.6 | Multivariate Analysen | 869 |
| Literatur zu Kapitel 6 | 871 | |
| 7 | Numerik und Wissenschaftliches Rechnen | 875 |
| 7.1 | Numerisches Rechnen und Fehleranalyse | 876 |
| 7.1.1 | Begriff des Algorithmus | 876 |
| 7.1.2 | Zahldarstellung in Computern | 876 |
| 7.1.3 | Fehlerquellen, Fehlererfassung, Kondition und Stabilität | 878 |
| 7.2 | Lineare Algebra | 879 |
| 7.2.1 | Lineare Gleichungssysteme - direkte Methoden | 879 |
| 7.2.2 | Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme | 884 |
| 7.2.3 | Eigenwertprobleme | 884 |
| 7.2.4 | Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate | 889 |
| 7.3 | Interpolation, numerische Differentiation und Quadratur | 893 |
| 7.3.1 | Interpolationspolynome | 893 |
| 7.3.2 | Numerische Differentiation | 898 |
| 7.3.3 | Numerische Quadratur | 898 |
| 7.4 | Nichtlineare Probleme | 903 |
| 7.4.1 | Nichtlineare Gleichungen | 903 |
| 7.4.2 | Nichtlineare Gleichungssysteme | 905 |
| 7.4.3 | Berechnung der Nullstellen von Polynomen | 907 |
| 7.5 | Approximation | 909 |
| 7.5.1 | Approximation im quadratischen Mittel | 909 |
| 7.5.2 | Gleichmäßige Approximation | 913 |
| 7.5.3 | Genäherte gleichmäßige Approximation | 914 |
| 7.6 | Gewöhnliche Differentialgleichungen | 915 |
| 7.6.1 | Anfangswertprobleme | 915 |
| 7.6.2 | Randwertprobleme | 924 |
| 7.7 | Partielle Differentialgleichungen und Wissenschaftliches Rechnen | 927 |
| 7.7.1 | Grundideen | 927 |
| 7.7.2 | Diskretisierungsverfahren in der Übersicht | 928 |
| 7.7.3 | Elliptische Differentialgleichungen | 932 |
| 7.7.4 | Parabolische Differentialgleichungen | 941 |
| 7.7.5 | Hyperbolische Differentialgleichungen | 944 |
| 7.7.6 | Adaptive Diskretisierungsverfahren | 951 |
| 7.7.7 | Iterative Lösung von Gleichungssystemen | 954 |
| 7.7.8 | Randelementmethode | 963 |
| 7.7.9 | Technik der hierarchischen Matrizen | 965 |
| 7.7.10 | Harmonische Analyse | 967 |
| 7.7.11 | Inverse Probleme | 977 |
| Literatur zu Kapitel 7 | 979 | |
| 8 | Wirtschafts- und Finanzmathematik | 981 |
| 8.1 | Klassische Finanzmathematik und Anwendungen | 981 |
| 8.1.1 | Lineare Verzinsung | 981 |
| 8.1.2 | Zinseszinsrechnung (geometrische Verzinsung) | 982 |
| 8.1.3 | Rentenrechnung | 984 |
| 8.1.4 | Tilgungsrechnung | 986 |
| 8.1.5 | Kursrechnung | 988 |
| 8.1.6 | Barwerte und Renditen | 988 |
| 8.1.7 | Zinsstrukturkurve | 990 |
| 8.1.8 | Risikokennzahlen festverzinslicher Wertpapiere | 992 |
| 8.1.9 | Risikokennzahlen und Rendite von Portfolios | 995 |
| 8.1.10 | Finanzinnovationen | 996 |
| 8.2 | Lebensversicherungsmathematik | 997 |
| 8.2.1 | Versicherungsformen | 998 |
| 8.2.2 | Sterbewahrscheinlichkeiten und Sterbetafeln | 998 |
| 8.2.3 | Die Zahlungsströme eines Lebensversicherungsvertrages | 1000 |
| 8.2.4 | Die Bewertung von Zahlungsströmen und Lebensversicherungsverträgen | 1002 |
| 8.2.5 | Äquivalenzprinzip und Nettoprämie | 1003 |
| 8.2.6 | Prospektives Deckungskapital | 1003 |
| 8.2.7 | Prämienarten | 1003 |
| 8.2.8 | Der Satz von Hattendorf | 1004 |
| 8.3 | Schadenversicherungsmathematik | 1005 |
| 8.3.1 | Das kollektive Modell für eine Versicherungsperiode | 1005 |
| 8.3.2 | Berechnung der Gesamtschadenverteilung | 1007 |
| 8.3.3 | Ruintheorie, Cramér-Lundberg-Modell | 1010 |
| 8.3.4 | Rückversicherung und Risikoteilung | 1014 |
| 8.3.5 | Elemente der klassischen Extremwerttheorie | 1014 |
| 8.4 | Finanzmathematik in zeitlich diskreten Marktmodellen | 1015 |
| 8.4.1 | Wertanlagen, Handelsstrategien und Arbitrage | 1015 |
| 8.4.2 | Absicherung und arbitragefreie Bewertung von Optionen | 1017 |
| 8.5 | Finanzmathematik in zeitstetigen Marktmodellen | 1021 |
| 8.5.1 | Wertprozesse und Handelsstrategien | 1021 |
| 8.5.2 | Der Itö-Kalkül | 1022 |
| 8.5.3 | Das Black-Scholes-Modell | 1025 |
| 8.6 | Lineare Optimierung | 1030 |
| 8.6.1 | Primale und duale Aufgabe | 1030 |
| 8.6.2 | Primaler Simplexalgorithmus | 1033 |
| 8.6.3 | Innere-Punkte-Methode | 1035 |
| 8.6.4 | Parametrische lineare Optimierung | 1037 |
| 8.6.5 | Das klassische Transportproblem | 1039 |
| 8.6.6 | Das Engpasstransportproblem | 1041 |
| xviii | ||
| 8.7 | Nichtlineare Optimierung | 1042 |
| 8.7.1 | Optimalitätsbedingungen bei allgemeinen Nebenbedingungen | 1044 |
| 8.7.2 | Optimalitätsbedingungen bei expliziten Nebenbedingungen | 1045 |
| 8.7.3 | Lagrange-Dualität | 1048 |
| 8.7.4 | Sattelpunkte | 1050 |
| 8.7.5 | Lösung freier nichtlinearer Optimierungsaufgaben | 1050 |
| 8.7.6 | Lösung restringierter Optimierungsaufgaben | 1051 |
| 8.8 | Diskrete Optimierimg | 1053 |
| 8.8.1 | Exakte Lösung von diskreten Optimierungsaufgaben | 1054 |
| 8.8.2 | Dualität | 1058 |
| 8.8.3 | Näherungsalgorithmen | 1060 |
| 8.8.4 | Matroide und der Greedy-Algorithmus | 1060 |
| 8.8.5 | Spezielle Probleme | 1061 |
| 8.9 | Optimierungsprobleme über Graphen | 1062 |
| 8.9.1 | Kürzeste Wege in gerichteten Graphen | 1063 |
| 8.9.2 | Minimalgerüste | 1064 |
| 8.9.3 | Flussprobleme | 1065 |
| 8.9.4 | Kostenminimale Flüsse | 1067 |
| 8.9.5 | Matchings minimalen Gewichtes | 1068 |
| 8.9.6 | Eulersche Graphen und das Problem des chinesischen Postboten | 1070 |
| 8.9.7 | Hamiltonkreise und das Rundreiseproblem | 1071 |
| 8.10 | Mathematische Spieltheorie | 1073 |
| 8.10.1 | Problemstellung | 1073 |
| 8.10.2 | Nash-Gleichgewicht | 1073 |
| 8.11 | Vektoroptimierung | 1075 |
| 8.11.1 | Problemstellung und grundlegende Begriffe | 1075 |
| 8.11.2 | Lineare Skalarisierung und Optimalitätsbedingungen | 1079 |
| 8.11.3 | Weitere Skalarisierungstechniken | 1081 |
| 8.11.4 | Karush-Kuhn-Tucker-Optimalitätsbedingungen | 1082 |
| 8.11.5 | Dualität | 1083 |
| 8.12 | Portfoliooptimierung | 1084 |
| 8.12.1 | Das Markowitz-Portfoliooptimierungsproblem | 1085 |
| 8.12.2 | Lineare Skalarisierung und eigentlich effiziente Portfolios | 1086 |
| 8.12.3 | Dualität und Optimalitätsbedingungen | 1089 |
| 8.12.4 | Erweiterungen | 1089 |
| 8.13 | Anwendungen der Differentialrechnung in den Wirtschaftswissenschaften | 1090 |
| 8.13.1 | Funktionswertänderungen bei Funktionen einer Veränderlichen | 1090 |
| 8.13.2 | Funktionswertänderungen bei Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher | 1094 |
| 8.13.3 | Extremwertprobleme in den Wirtschaftswissenschaften | 1095 |
| Literatur zu Kapitel 8 | 1098 | |
| 9 | Algorithmik und Informatik | 1101 |
| 9.1 | Geschichte der Informatik | 1101 |
| 9.2 | Alphabete, Wörter, Sprachen und Aufgaben | 1107 |
| 9.2.1 | Zielsetzung | 1107 |
| 9.2.2 | Alphabete, Wörter und Sprachen | 1108 |
| 9.2.3 | Algorithmische Probleme | 1112 |
| 9.3 | Endliche Automaten | 1119 |
| 9.3.1 | Zielsetzung | 1119 |
| 9.3.2 | Die Darstellungen der endlichen Automaten | 1120 |
| 9.3.3 | Simulationen | 1130 |
| 9.3.4 | Beweise der Nichtexistenz | 1133 |
| 9.3.5 | Nichtdeterminismus | 1138 |
| 9.4 | Turingmaschinen | 1145 |
| 9.4.1 | Zielsetzung | 1145 |
| 9.4.2 | Das Modell der Turingmaschine | 1146 |
| 9.4.3 | Mehrband-Turingmaschinen und Churchsche These | 1153 |
| 9.4.4 | Nichtdeterministische Turingmaschinen | 1160 |
| 9.4.5 | Kodierimg von Turingmaschinen | 1164 |
| 9.5 | Berechenbarkeit | 1165 |
| 9.5.1 | Zielsetzung | 1165 |
| 9.5.2 | Die Methode der Diagonalisierung | 1166 |
| 9.5.3 | Die Methode der Reduktion | 1172 |
| 9.5.4 | Satz von Rice | 1180 |
| 9.6 | Komplexitätstheorie | 1183 |
| 9.6.1 | Zielsetzung | 1183 |
| 9.6.2 | Komplexitätsmaße | 1184 |
| 9.6.3 | Komplexitätsklassen und die Klasse P | 1189 |
| 9.6.4 | Nichtdeterministische Komplexitätsmaße | 1192 |
| 9.6.5 | Die Klasse NP und Beweisverifikation | 1195 |
| 9.6.6 | NP-Vollständigkeit | 1198 |
| 9.7 | Algorithmik für schwere Probleme | 1213 |
| 9.7.1 | Zielsetzung | 1213 |
| 9.7.2 | Approximationsalgorithmen | 1214 |
| 9.7.3 | Lokale Suche | 1219 |
| 9.7.4 | Simulated Annealing | 1222 |
| 9.8 | Randomisierung | 1224 |
| 9.8.1 | Zielsetzung | 1224 |
| 9.8.2 | Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie | 1226 |
| 9.8.3 | Ein randomisiertes Kommunikationsprotokoll | 1228 |
| 9.8.4 | Die Methode der Fingerabdrücke und die Äquivalenz von zwei Polynomen | 1231 |
| 9.9 | Zusammenfassung und Ausblick | 1235 |
| 9.10 | Unscharfe Mengen und Fuzzy-Methoden | 1238 |
| 9.10.1 | Unschärfe und mathematische Modellierung | 1238 |
| 9.10.2 | Mengenalgebra | 1239 |
| 9.10.3 | Unscharfe Zahlen und ihre Arithmetik | 1250 |
| 9.10.4 | Unscharfe Variable | 1256 |
| 9.10.5 | Unscharfe Relationen | 1257 |
| 9.10.6 | Unschärfemaße | 1259 |
| 9.10.7 | Wahrscheinlichkeiten unscharfer Ereignisse | 1261 |
| 9.10.8 | Unscharfe Maße | 1262 |
| Literatur zu Kapitel 9 | 1263 | |
| Zeittafel zur Geschichte der Mathematik | 1267 | |
| Literatur zur Geschichte der Mathematik | 1272 | |
| Mathematische Symbole | 1275 | |
| Index | 1282 | |
a-priori Abschätzung, 482
Abbildung, 743, 1842
bijektive, 744
flächentreue, 715
injektive, 744
inverse, 744
konforme, 528, 551, 556
Korrespondenz, 746
längentreue, 715
ordnungstreue, 750
surjektive, 744
winkel treue, 715
Abbildungsgrad, 547
Abbildungssatz von Riemann, 551
Abelsche Gruppe, 627
Abelsches Integral, 142, 528
Abelsches Summationsverfahren, 399
Abhängigkeit von Funktionen, 288
Abhängigkeitsgebiet, 519
Ableitung
äußere, 301
einer Funktion mehrerer Variabler, 259
Fachet-, 280, 500
höhere, 260
Kettenregel, 298
logarithmische, 134
partielle, 130, 278
Richtungs-, 293
verallgemeinerte, 349
Ableitungsgleichungen, 720
Abrundung, 877
Abschluss, 254
Abschätzung Fehler, 294
Restglied, 269
Absicherungsstrategie, 1020, 1024
absolute Häufigkeit, 848
absolute Integralinvariante von Poincare-Cartan, absolute Konvergenz, 387
Abstand, 27, 251, 690
hyperbolischer, 687
komplexer Zahlen, 529
zwischen zwei Punkten, 17
Abstiegsrichtung, 1050
abwickelbare Regelfläche, 719
Abzählbarkeit, 1168
Adams-Bashforth-Verfahren, 921
Adams-Moulton-Verfahren, 922
Adams-Verfahren, 921
Adaptivität, 951
Additionsformel für Mittelwerte, 821
Additionstheorem, 54, 57
additive Gruppe Rang, 633
Torsion, 633
Adjunkte eines Matrixelements, 580
Ähnlichkeitssatz (Matrizen), 611
äquivalente Wörter, 577
affiner Unterraum, 622
Ähnlichkeit in der Geometrie, 664
Ahnlichkeitssatz, 671
Ähnlichkeitstransformation, 552, 605
Aleph, 1842
Algebra
Ereignisse, 831
Fundamentalsatz, 594
Lie, 612
lineare, 614
algebraische Funktion, 528, 650
algebraische Körpererweiterung, 642
algebraische Topologie, 536
algebraisches Element, 642
algebraisches Komplement, 624
Algorithmus, 876,1112, 1146
Aitken-Neville-, 896
Clenshaw-, 913
Euklidischer, 593, 599, 600
Gaußscher, 588
Gaußscher Eliminations-, 879
komplexer, 875
QR-, 887
randomisierter, 1228
stabiler, 878
allgemeine Lösungen (linearer Gleichungssysteme), 587
Alphabet, 1108
Aiternantensatz, 913
alternierende Gruppe, 629
Amoroso-Robinson-Gleichung, 1093
Analogieprinzip, 566
Analyse
Fehler-, 876
harmonische
numerische Behandlung, 967
Multiskalen-, 972
analytische Fortsetzung, 395, 567
analytische Funktion, komplexe, 539
analytische Geometrie, 689
analytische Zahlentheorie, 655
Anfangsbedingung, 428
Anfangsrandwertaufgabe, 945
Anfangswertproblem, 442, 945
Eindeutigkeit, 468
numerische Behandlung, 915
Annuität, 986
Anordnungsaxiom, 682
Ansatz, 266
Antinomie von Burali-Forti, 759
Approximation Fourier-, 910
1283
