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Spektrum-Akademischer Vlg Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| Inhalt | ||||||
| 1. | Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal | 1 | ||||
| 1.1 | Die klassischen ungelösten Probleme | 2 | ||||
| 1.2 | Koordinatisierung | 4 | ||||
| 1.3 | Algebraisierung | 8 | ||||
| 1.4 | Der Körpergrad | 14 | ||||
| 2. | Algebraische Körpererweiterungen | 23 | ||||
| 2.1 | Körpererweiterungen | 24 | ||||
| 2.2 | Minimalpolynome | 26 | ||||
| 2.3 | Endliche Körpererweiterungen | 27 | ||||
| 2.4 | Algebraische Körpererweiterungen | 29 | ||||
| 3. | Einfache Körpererweiterungen | 33 | ||||
| 3.1 | Einfache Erweiterungen | 33 | ||||
| 3.2 | Restklassenringe | 34 | ||||
| 3.3 | Konstruktion einfacher algebraischer Erweiterungen | 39 | ||||
| 3.4 | Konstruktion einfacher transzendenter Erweiterungen | 42 | ||||
| 3.5 | Primkörper
und
Charakteristik
eines
Körpers | 46 | ||||
| 3.6 | Charakterisierung einfacher algebraischer Erweiterungen | 48 | ||||
| 4. | Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre | 53 | ||||
| 4.1 | Teilbarkeit | 54 | ||||
| 4.2 | Idealtheoretische Beschreibung | 55 | ||||
| 4.3 | Faktorielle Ringe | 58 | ||||
| 4.4 | Eigenschaften faktorieller Ringe | 61 | ||||
| 4.5 | Weitere Begriffe der Ringtheorie | 64 | ||||
| 5. | Primzerlegung in Polynomringen | 73 | ||||
| 5.1 | Vorbereitungen zum Satz von Gauß | 73 | ||||
| 5.2 | Der Satz von Gauß | 75 | ||||
| 5.3 | Irreduzibilitätskriterien | 79 | ||||
| 5.4 | * Der Satz von Stothers-Mason | 84 | ||||
| 6. | Zerfallungskörper von Polynomen | 91 | ||||
| 6.1 | Der algebraische Abschluss von Körpern | 91 | ||||
| 6.2 | Tensorprodukte von K-Algebren | 99 | ||||
| 6.3 | Das Lemma von Zorn | 104 | ||||
| 7. | Separabilität | 111 | ||||
| 7.1 | Separable Körpererweiterungen | 112 | ||||
| 7.2 | Separable Polynome | 117 | ||||
| 7.3 | Rein inseparable Erweiterungen | 118 | ||||
| 8. | Galoissche Körpererweiterungen | 125 | ||||
| 8.1 | Definition galoisscher Körpererweiterungen | 125 | ||||
| 8.2 | Der Hauptsatz für endliche galoissche Erweiterungen | 129 | ||||
| 8.3 | Die Galoisgruppe eines separablen Polynoms | 132 | ||||
| 8.4* | Beispiele von 2-Erweiterungen | 135 | ||||
| 9. | Endliche Körper, zyklische Gruppen und Einheitswurzeln | 147 | ||||
| 9.1 | Existenz- und Eindeutigkeitssatz für endliche Körper | 147 | ||||
| 9.2 | Eigenschaften zyklischer Gruppen | 149 | ||||
| 9.3 | Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers | 151 | ||||
| 9.4 | Der Körper der n-ten Einheitswurzeln über K | 154 | ||||
| 9.5 | Der Frobeniusautomorphismus in endlichen Körpern | 158 | ||||
| 10. | Operationen von Gruppen auf Mengen | 163 | ||||
| 10.1 | Die Bahnengleichung | 163 | ||||
| 10.2 | Die Sylowsätze | 170 | ||||
| 11. | Anwendungen der Galoisschen Theorie | 181 | ||||
| 11.1 | Ein Konstruierbarkeitskriterium | 181 | ||||
| 11.2 | Anwendung auf die nTeilung des Kreises | 182 | ||||
| 11.3 | Quadratische Teilkörper von Q(ζP) | 185 | ||||
| 11.4 | Das Quadratische Reziprozitätsgesetz | 190 | ||||
| 12. | Ergänzung der Galoisschen Theorie | 199 | ||||
| 12.1 | Der Verschiebungssatz | 199 | ||||
| 12.2 | Lineare Unabhängigkeit von Körperhomomorphismen | 202 | ||||
| 12.3 | Normalbasen | 205 | ||||
| 12.4 | Unendliche Galoiserweiterungen | 212 | ||||
| 13. | Norm und Spur | 223 | ||||
| 13.1 | Grundlegende Eigenschaften von Norm und Spur | 223 | ||||
| 13.2 | Norm und Spur in endlichen Körpererweiterungen | 227 | ||||
| 13.3 | Hilberts Satz 90 | 230 | ||||
| 14. | Reine Gleichungen | 237 | ||||
| 14.1 | Zyklische Erweiterungen | 237 | ||||
| 14.2 | Kummertheorie | 246 | ||||
| 14.3 | Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen | 252 | ||||
| 15. | Auflösbarkeit von Gleichungen | 269 | ||||
| 15.1 | Auflösbare Gleichungen und auflösbare Gruppen | 270 | ||||
| 15.2 | Snals Gruppe der allgemeinen Gleichung n-ten Grades | 280 | ||||
| 15.3 | Exkurs über Permutationen | 286 | ||||
| 15.4 | Auflösung kubischer Gleichungen | 292 | ||||
| 15.5 | Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad | 296 | ||||
| 15.6 | Hilberts Irreduzibilitätssatz | 302 | ||||
| 16. | Ganzalgebraische Ringerweiterungen | 307 | ||||
| 16.1 | Ganze Elemente einer Ringerweiterung | 307 | ||||
| 16.2 | Ganz abgeschlossene Ringe | 311 | ||||
| 16.3 | Ein Reduktionsprinzip der Galoistheorie | 315 | ||||
| 17. | Die Transzendenz von π | 327 | ||||
| 17.1 | Beweis der Transzendenz von π | 327 | ||||
| 17.2 | Satz von Lindemann-Weierstraß | 330 | ||||
| 18. | Transzendente Körpererweiterungen | 335 | ||||
| 18.1 | Existenz von Transzendenzbasen | 335 | ||||
| 18.2 | Der Transzendenzgrad | 340 | ||||
| 18.3 | Der Noethersche Normalisierungssatz | 341 | ||||
| 19. | Der Hilbertsche Nullstellensatz | 347 | ||||
| 19.1 | Algebraische K-Mengen | 347 | ||||
| 19.2 | Hilberts Nullstellensatz | 349 | ||||
| 19.3 | Der Hilbertsche Basissatz | 352 | ||||
| 19.4 | Folgerungen aus dem Hilbertschen Basissatz | 354 | ||||
| 19.5 | Dimension affiner KVarietäten | 357 | ||||
| A. | Einige Begriffe aus den Grundvorlesungen | 367 | ||||
| A.1 | Mengen | 367 | ||||
| A.2 | Gruppen | 368 | ||||
| A.3 | Körper | 369 | ||||
| A.4 | Vektorräume | 369 | ||||
| A.5 | Ringe | 370 | ||||
| A.6 | Algebren | 372 | ||||
| A.7 | R-Moduln und R-Algebren | 372 | ||||
| Symbolverzeichnis | 375 | |||||
| Literaturverzeichnis | 379 | |||||
| Namensverzeichnis | 383 | |||||
| Sachverzeichnis | 385 | |||||
