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Spektrum-Akademischer Vlg Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| Vorwort zur dritten Auflage | v | |
| Vorwort zur zweiten Auflage | v | |
| Vorwort zur ersten Auflage | v | |
| 0 | Vorbemerkungen | 1 |
| 0.1 | Womit befasst sich die Algebra? | 1 |
| 0.2 | Gruppen, Ringe, Körper | 2 |
| 1 | Halbgruppen | 5 |
| 1.1 | Definitionen | 5 |
| 1.2 | Unterhalbgruppen | 8 |
| 1.3 | Invertierbare Elemente | 9 |
| 1.4 | Allgemeines Assoziativ- und Kommutativgesetz | 11 |
| 1.5 | Potenzen und Vielfache | 11 |
| 1.6 | Homomorphismen, Isomorphismen | 12 |
| 1.7 | Direkte Produkte | 15 |
| 2 | Gruppen | 17 |
| 2.1 | Eigenschaften und Beispiele von Gruppen | 17 |
| 2.2 | Untergruppen | 21 |
| 2.3 | Homomorphismen | 25 |
| 3 | Untergruppen | 29 |
| 3.1 | Erzeugendensysteme. Elementordnungen | 29 |
| 3.2 | Nebenklassen | 35 |
| 3.3 | Der Satz von Lagrange | 38 |
| 4 | Normalteiler und Faktorgruppen | 43 |
| 4.1 | Normalteiler | 43 |
| 4.2 | Normalisatoren | 46 |
| 4.3 | Faktorgruppen | 47 |
| 4.4 | Der Homomorphiesatz | 51 |
| 4.5 | Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * | 53 |
| 4.6 | Isomorphiesätze | 54 |
| 5 | Zyklische Gruppen | 59 |
| 5.1 | Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen | 59 |
| 5.2 | Klassifikation der zyklischen Gruppen | 61 |
| 5.3 | Anwendungen in der Zahlentheorie | 62 |
| 5.4 | Die Automorphismengruppen zyklischer Gruppen * | 68 |
| 6 | Direkte Produkte | 71 |
| 6.1 | Äußere direkte Produkte | 71 |
| 6.2 | Innere direkte Produkte | 72 |
| 6.3 | Anwendung in der Zahlentheorie | 75 |
| 7 | Gruppenoperationen | 83 |
| 7.1 | Bahnen und Stabilisatoren | 83 |
| 7.2 | Der Fixpunktsatz | 87 |
| 7.3 | Die Klassengleichung | 89 |
| 8 | Die Sätze von Sylow | 93 |
| 8.1 | Der erste Satz von Sylow | 93 |
| 8.2 | Der zweite Satz von Sylow | 97 |
| 8.3 | Gruppen kleiner Ordnung | 100 |
| 9 | Symmetrische und alternierende Gruppen | 105 |
| 9.1 | Kanonische Zerlegung in Zyklen | 105 |
| 9.2 | Alternierende Gruppen | 109 |
| 9.3 | Einfache Gruppen | 111 |
| 10 | Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen | 115 |
| 10.1 | Der Hauptsatz | 115 |
| 10.2 | Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen | 117 |
| 10.3 | Die zweite Version des Hauptsatzes * | 119 |
| 11 | Auflösbare Gruppen | 121 |
| 11.1 | Normalreihen und Kompositionsreihen | 121 |
| 11.2 | Kommutatorgruppen | 125 |
| 11.3 | Auflösbare Gruppen | 128 |
| 11.4 | Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen | 129 |
| 11.5 | Klassen auflösbarer Gruppen | 131 |
| 12 | Freie Gruppen * | 133 |
| 12.1 | Existenz und Eindeutigkeit freier Gruppen | 133 |
| 12.2 | Definierende Relationen | 142 |
| 12.3 | Beispiele | 145 |
| 13 | Grundbegriffe der Ringtheorie | 149 |
| 13.1 | Definition und Beispiele | 149 |
| 13.2 | Teilringe | 152 |
| 13.3 | Die Einheitengruppe | 153 |
| 13.4 | Homomorphismen | 154 |
| 13.5 | Integritätsbereiche | 156 |
| 13.6 | Charakteristik eines Ringes mit 1 | 157 |
| 13.7 | Körper und Schiefkörper | 158 |
| 13.8 | Quotientenkörper | 160 |
| 14 | Polynomringe | 165 |
| 14.1 | Motivation | 165 |
| 14.2 | Konstruktion des Ringes R[No] | 166 |
| 14.3 | Polynome in einer Unbestimmten | 168 |
| 14.4 | Prime Restklassengruppen * | 177 |
| 14.5 | Polynome in mehreren Unbestimmten | 179 |
| 15 | Ideale | 183 |
| 15.1 | Definitionen und Beispiele | 183 |
| 15.2 | Erzeugung von Idealen | 185 |
| 15.3 | Einfache Ringe | 186 |
| 15.4 | Idealoperationen | 188 |
| 15.5 | Faktorringe | 189 |
| 15.6 | Isomorphiesätze | 190 |
| 15.7 | Primideale | 192 |
| 15.8 | Maximale Ideale | 194 |
| 16 | Teilbarkeit in Integritätsbereichen | 199 |
| 16.1 | Teilbarkeit | 199 |
| 16.2 | Idealtheoretische Interpretation | 203 |
| 17 | Faktorielle Ringe | 205 |
| 17.1 | Kennzeichnungen faktorieller Ringe | 205 |
| 17.2 | Der nichtfaktorielle Ring Z[v^5] * | 208 |
| 18 | Hauptidealringe. Euklidische Ringe | 213 |
| 18.1 | Hauptidealringe | 213 |
| 18.2 | Euklidische Ringe | 215 |
| 18.3 | Der euklidische Ring Z[i] * | 218 |
| 19 | Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe | 223 |
| 19.1 | Der Satz von Gauß | 223 |
| 19.2 | Irreduzibilität | 227 |
| 19.3 | Noethersche Ringe * | 231 |
| 20 | Grundlagen der Körpertheorie | 235 |
| 20.1 | Körpererweiterungen | 235 |
| 20.2 | Ring- und Körperadjunktion | 241 |
| 20.3 | Algebraische Elemente. Minimalpolynome | 242 |
| 21 | Einfache und algebraische Körpererweiterungen | 247 |
| 21.1 | Einfache Körpererweiterungen | 247 |
| 21.2 | Fortsetzung von Isomorphismen auf einfache Erweiterungen | 249 |
| 21.3 | Algebraische Körpererweiterungen | 251 |
| 22 | Konstruktionen mit Zirkel und Lineal * | 257 |
| 22.1 | Konstruierbarkeit | 257 |
| 22.2 | Die drei klassischen Probleme | 263 |
| 23 | Transzendente Körpererweiterungen * | 265 |
| 23.1 | Transzendenzbasen | 265 |
| 23.2 | Der Transzendenzgrad | 269 |
| 24 | Algebraischer Abschluss. Zerfallungskörper | 271 |
| 24.1 | Der algebraische Abschluss eines Körpers | 272 |
| 24.2 | Zerfällungskörper | 277 |
| 24.3 | Normale Körpererweiterungen | 282 |
| 25 | Separable Körpererweiterungen | 287 |
| 25.1 | Ableitung. Mehrfache Wurzeln | 287 |
| 25.2 | Separabilität | 289 |
| 25.3 | Vollkommene Körper | 292 |
| 25.4 | Der Satz vom primitiven Element | 293 |
| 25.5 | Der separable Abschluss | 295 |
| 26 | Endliche Körper | 301 |
| 26.1 | Existenz und Eindeutigkeit | 301 |
| 26.2 | Der Verband der Teilkörper | 304 |
| 26.3 | Automorphismen | 305 |
| 27 | Die Galoiskorrespondenz | 307 |
| 27.1 | K- Automorphismen | 307 |
| 27.2 | Die allgemeine Galoiskorrespondenz | 311 |
| 27.3 | Algebraische Galoiserweiterungen | 315 |
| 27.4 | Hauptsatz der endlichen Galoistheorie | 317 |
| 27.5 | Ergänzungen | 320 |
| 28 | Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung * | 325 |
| 28.1 | Norm und Spur | 325 |
| 28.2 | Hinweise zur Ermittlung des Fixkörpers .F(A) | 326 |
| 28.3 | Hinweise zur Ermittlung von T = T(L/K) | 328 |
| 28.4 | Beispiele | 329 |
| 28.5 | Die Galoisgruppe eines Polynoms | 330 |
| 29 | Kreisteilungskörper | 335 |
| 29.1 | Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper | 335 |
| 29.2 | Kreisteilungspolynome | 337 |
| 29.3 | Die Galoisgruppe von Kn/K | 342 |
| 29.4 | Konstruktion regulärer Vielecke * | 344 |
| 30 | Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale | 349 |
| 30.1 | Zyklische Körpererweiterungen | 349 |
| 30.2 | Auflösbarkeit | 354 |
| 30.3 | Das Auflösbarkeitskriterium | 354 |
| 31 | Die allgemeine Gleichung | 359 |
| 31.1 | Symmetrische Funktionen | 359 |
| 31.2 | Das allgemeine Polynom | 362 |
| 31.3 | Die Diskriminante eines Polynoms * | 364 |
| 31.4 | Die allgemeine Gleichung vom Grad 3 * | 366 |
| 31.5 | Die allgemeine Gleichung vom Grad 4 * | 369 |
| A Hilfsmittel | 371 | |
| A.l Aquivalenzrelationen | 371 | |
| A.2 Transfinite Beweismethoden | 372 | |
| A.3 Kardinalzahlen | 375 | |
| A.4 Zusammenfassung der Axiome | 377 | |
| Literaturverzeichnis | 379 | |
| Index | 381 | |
A
abelsch, 6
abelsche Körperer Weiterung, 310
abgeschlossen, 313
Ableitung
eines Polynoms, 288
abzählbare Menge, 375
Adjunktion, 241
Äquivalenzklasse, 372
Äquivalenzrelation, 371
algebraisch abgeschlossen, 273
algebraisch abhängig, 181, 266
algebraisch unabhängig, 266
algebraische Körperweiterung, 251
algebraische Struktur, 2
algebraische Zahlen, 275
algebraischer Abschluss, 274
von K in L, 252
algebraisches Element, 173, 242
allgemeine lineare Gruppe, 10, 20
allgemeines Assoziativgesetz, 11
allgemeines Kommutativgesetz, 11
allgemeines Polynom, 363
Alphabet, 135
alternierende Gruppe, 111
Anzahlformel, 87
assoziierte Elemente, 199
auflösbare Gruppe, 128
Auswahlaxiom, 373
Auswahlfunktion, 373
Automorphismengruppe, 25
Automorphismus, 12
B
Bahn
einer Operation, 85
Bahnenformel, 86
Basis einer freien Gruppe, 134
Basissatz von Hilbert, 232
Buchstaben, 136
c
cardanosche Formeln, 368
Charakteristik
eines Körpers, 236
eines Ringes mit 1, 157
charakteristische Untergruppe, 57
chinesischer Restsatz, 76
D
Dedekind'sches Lemma, 326
delisches Problem, 263
Diedergruppe, 34
diophantische Gleichung, 221
direkte Summe
von Ringen, 151
direktes Produkt äußeres, 15
inneres, 72
von Gruppen, 72
von Halbgruppen, 15
von Ringen, 151
disjunkte Zyklen, 106
Diskriminante, 365
Division mit Rest, 174
Divisionsbereich, 159
E
Einbettung, 12, 156
Einbettung in Galoiserweiterungen, 320
einfache Gruppe, 111
einfache Körperweiterung, 241
einfache Wurzel, 288
einfacher Ring, 186
Einheit
einer Halbgruppe, 9
eines Ringes, 153
Einheitengruppe
einer Halbgruppe, 19
eines Ringes, 153
Einheitswurzel, 24
primitive, 336
Einselement
einer Halbgruppe, 6
eines Rings, 150
Einsetzhomomorphismus, 172, 180
Einsideal, 184
Eisenstein
Irreduzibilitätskriterium von, 230
Element
algebraisches, 242
inseparables, 290
maximales, 374
separables, 290
transzendentes, 242
elementarsymmetrische Funktionen, 361
elementfremde Zyklen, 106
El Gamal-Ver fahren, 81
endlich erzeugte Gruppe, 30
endlich erzeugtes Ideal, 185
endliche Menge, 375
endlicher Träger, 166
Endomorphismus, 12
Epimorphismus, 12
kanonischer, 48, 190
