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Spektrum-Akademischer Vlg Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| Inhalt | ||||||
| 1. | Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal | 1 | ||||
| 1.1 | Die klassischen ungelösten Probleme | 2 | ||||
| 1.2 | Koordinatisierung | 4 | ||||
| 1.3 | Algebraisierung | 8 | ||||
| 1.4 | Der Körpergrad | 14 | ||||
| 2. | Algebraische Körpererweiterungen | 23 | ||||
| 2.1 | Körpererweiterungen | 24 | ||||
| 2.2 | Minimalpolynome | 26 | ||||
| 2.3 | Endliche Körpererweiterungen | 27 | ||||
| 2.4 | Algebraische Körpererweiterungen | 29 | ||||
| 3. | Einfache Körpererweiterungen | 33 | ||||
| 3.1 | Einfache Erweiterungen | 33 | ||||
| 3.2 | Restklassenringe | 34 | ||||
| 3.3 | Konstruktion einfacher algebraischer Erweiterungen | 39 | ||||
| 3.4 | Konstruktion einfacher transzendenter Erweiterungen | 42 | ||||
| 3.5 | Primkörper
und
Charakteristik
eines
Körpers | 46 | ||||
| 3.6 | Charakterisierung einfacher algebraischer Erweiterungen | 48 | ||||
| 4. | Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre | 53 | ||||
| 4.1 | Teilbarkeit | 54 | ||||
| 4.2 | Idealtheoretische Beschreibung | 55 | ||||
| 4.3 | Faktorielle Ringe | 58 | ||||
| 4.4 | Eigenschaften faktorieller Ringe | 61 | ||||
| 4.5 | Weitere Begriffe der Ringtheorie | 64 | ||||
| 5. | Primzerlegung in Polynomringen | 73 | ||||
| 5.1 | Vorbereitungen zum Satz von Gauß | 73 | ||||
| 5.2 | Der Satz von Gauß | 75 | ||||
| 5.3 | Irreduzibilitätskriterien | 79 | ||||
| 5.4 | * Der Satz von Stothers-Mason | 84 | ||||
| 6. | Zerfallungskörper von Polynomen | 91 | ||||
| 6.1 | Der algebraische Abschluss von Körpern | 91 | ||||
| 6.2 | Tensorprodukte von K-Algebren | 99 | ||||
| 6.3 | Das Lemma von Zorn | 104 | ||||
| 7. | Separabilität | 111 | ||||
| 7.1 | Separable Körpererweiterungen | 112 | ||||
| 7.2 | Separable Polynome | 117 | ||||
| 7.3 | Rein inseparable Erweiterungen | 118 | ||||
| 8. | Galoissche Körpererweiterungen | 125 | ||||
| 8.1 | Definition galoisscher Körpererweiterungen | 125 | ||||
| 8.2 | Der Hauptsatz für endliche galoissche Erweiterungen | 129 | ||||
| 8.3 | Die Galoisgruppe eines separablen Polynoms | 132 | ||||
| 8.4* | Beispiele von 2-Erweiterungen | 135 | ||||
| 9. | Endliche Körper, zyklische Gruppen und Einheitswurzeln | 147 | ||||
| 9.1 | Existenz- und Eindeutigkeitssatz für endliche Körper | 147 | ||||
| 9.2 | Eigenschaften zyklischer Gruppen | 149 | ||||
| 9.3 | Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers | 151 | ||||
| 9.4 | Der Körper der n-ten Einheitswurzeln über K | 154 | ||||
| 9.5 | Der Frobeniusautomorphismus in endlichen Körpern | 158 | ||||
| 10. | Operationen von Gruppen auf Mengen | 163 | ||||
| 10.1 | Die Bahnengleichung | 163 | ||||
| 10.2 | Die Sylowsätze | 170 | ||||
| 11. | Anwendungen der Galoisschen Theorie | 181 | ||||
| 11.1 | Ein Konstruierbarkeitskriterium | 181 | ||||
| 11.2 | Anwendung auf die nTeilung des Kreises | 182 | ||||
| 11.3 | Quadratische Teilkörper von Q(ζP) | 185 | ||||
| 11.4 | Das Quadratische Reziprozitätsgesetz | 190 | ||||
| 12. | Ergänzung der Galoisschen Theorie | 199 | ||||
| 12.1 | Der Verschiebungssatz | 199 | ||||
| 12.2 | Lineare Unabhängigkeit von Körperhomomorphismen | 202 | ||||
| 12.3 | Normalbasen | 205 | ||||
| 12.4 | Unendliche Galoiserweiterungen | 212 | ||||
| 13. | Norm und Spur | 223 | ||||
| 13.1 | Grundlegende Eigenschaften von Norm und Spur | 223 | ||||
| 13.2 | Norm und Spur in endlichen Körpererweiterungen | 227 | ||||
| 13.3 | Hilberts Satz 90 | 230 | ||||
| 14. | Reine Gleichungen | 237 | ||||
| 14.1 | Zyklische Erweiterungen | 237 | ||||
| 14.2 | Kummertheorie | 246 | ||||
| 14.3 | Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen | 252 | ||||
| 15. | Auflösbarkeit von Gleichungen | 269 | ||||
| 15.1 | Auflösbare Gleichungen und auflösbare Gruppen | 270 | ||||
| 15.2 | Snals Gruppe der allgemeinen Gleichung n-ten Grades | 280 | ||||
| 15.3 | Exkurs über Permutationen | 286 | ||||
| 15.4 | Auflösung kubischer Gleichungen | 292 | ||||
| 15.5 | Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad | 296 | ||||
| 15.6 | Hilberts Irreduzibilitätssatz | 302 | ||||
| 16. | Ganzalgebraische Ringerweiterungen | 307 | ||||
| 16.1 | Ganze Elemente einer Ringerweiterung | 307 | ||||
| 16.2 | Ganz abgeschlossene Ringe | 311 | ||||
| 16.3 | Ein Reduktionsprinzip der Galoistheorie | 315 | ||||
| 17. | Die Transzendenz von π | 327 | ||||
| 17.1 | Beweis der Transzendenz von π | 327 | ||||
| 17.2 | Satz von Lindemann-Weierstraß | 330 | ||||
| 18. | Transzendente Körpererweiterungen | 335 | ||||
| 18.1 | Existenz von Transzendenzbasen | 335 | ||||
| 18.2 | Der Transzendenzgrad | 340 | ||||
| 18.3 | Der Noethersche Normalisierungssatz | 341 | ||||
| 19. | Der Hilbertsche Nullstellensatz | 347 | ||||
| 19.1 | Algebraische K-Mengen | 347 | ||||
| 19.2 | Hilberts Nullstellensatz | 349 | ||||
| 19.3 | Der Hilbertsche Basissatz | 352 | ||||
| 19.4 | Folgerungen aus dem Hilbertschen Basissatz | 354 | ||||
| 19.5 | Dimension affiner KVarietäten | 357 | ||||
| A. | Einige Begriffe aus den Grundvorlesungen | 367 | ||||
| A.1 | Mengen | 367 | ||||
| A.2 | Gruppen | 368 | ||||
| A.3 | Körper | 369 | ||||
| A.4 | Vektorräume | 369 | ||||
| A.5 | Ringe | 370 | ||||
| A.6 | Algebren | 372 | ||||
| A.7 | R-Moduln und R-Algebren | 372 | ||||
| Symbolverzeichnis | 375 | |||||
| Literaturverzeichnis | 379 | |||||
| Namensverzeichnis | 383 | |||||
| Sachverzeichnis | 385 | |||||
Namensverzeichnis
AAbel, Niels Hendrik (1802-1829), 123, 252, 270
Archimedes (287-212BC), 18
Artin, Emil (1898-1962), 92, 205, 244, 371
BBertrand, Joseph (1822-1900), 305
Bezout, Etienne (1730-1783), 52
Brandis, Albrecht, 21
CCapelli, Alfredo (1855-1910), 267
Cardano, Girolamo (1501-1576), 269
Carlitz, Leonard (1907-1999), 221
Castelnuovo, Guido (1865-1952), 346
Cauchy, Augustin-Louis (1789-1857), 174
Cayley, Arthur (1821-1895), 165
Chandrasekharan, Komaravolu, 190
Cohn, Paul M., (*1924), 90
DDavenport, Harold (1907-1969), 221
Dedekind, Richard (1831-1916), 92, 108, 202, 212
Descartes, Rene (1596-1650), 18
Deuring, Max (1907-1984), 210
Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1805-1859), 162
Drinfeld, G.I., 327
Dubickas, Arturas, 90
Dubuque, Bill, 85
EEisenstein, Gotthold (1823-1852), 88, 89
Eudoxos (408-355BC), 18
Euklid (ca. 325-265BC), 17, 40, 53, 71
Euler, Leonhard (1707-1783), 42, 184, 194
FFaltings, Gerd (*1954), 346
Fermat, Pierre (1607-1665), 18, 69, 184
del Ferro, Scipione (1465-1526), 269
Frenicle, Bernard (1605-1675), 184
Friedrichsdorf, Ulf, 104
Frobenius, Georg (1849-1917), 177, 197
GGalois, Evariste (1811-1832), 147, 160, 270, 299
Gauß, Carl-Friedrich (1777-1855), 2, 18, 23, 147, 151, 190, 194
Grothendieck, Alexander (*1928), 23
HHartshorne, Robin, 347
Hausdorff (1888-1942), 106
Hensel, Kurt (1861-1941), 75
Hermite, Charles (1822-1901), 332, 333
Hubert, David (1862-1943), 67, 235, 321, 352
Hulek, Klaus, 347
Huppert, Bertram (*1927), 178
IIschebeck, Friedrich, 346
JJacobi, Carl Gustav Jacob (18041851), 193
KKlein, Felix (1849-1925), 291
König, Julius (1849-1913), 370
Kronecker, Leopold (1823-1891), 197
Kronecker, Leopoldt (1823-1891), 194, 325, 364, 366
Krull, Wolfgang (1899-1971), 210, 216, 323, 361
Kummer, Ernst Eduard (1810-1893), 237, 250
Kuratowski (1896-1980), 106
LLagrange, Joseph-Louis (1736-1813), 42
Lang, Serge (1927-2005), 87, 302
Laugwitz, Detlef, 19
Legendre, Adrien-Marie (1752-1833), 194
Lindemann, Ferdinand (1852-1939), 332, 333
Lorenz, Falko, 235
Lüroth, Jakob (1844-1910), 89
MMatsumura, Hideyuki, 358
Matzat, Heinrich (*1945), 321
Menaechmus (380-320BC), 18
Miller, George Abram (1863-1951), 177
NNagata, Masayoshi (*1927), 90
Nastold, Hans-Joachim (1930-2004), 365
Neukirch, Jürgen (1937-1997), 195
Noether, Emmy (1882-1935), 222, 235, 321, 371
OOpolka, Hans, 184
PPeano, Giuseppe (1858-1932), 369
Prestel, Alexander, 104
RRemak, Robert (1888-1942), 210
Ruffini, Paolo (1765-1822), 286
SSamuel, Pierre (*1921), 90
Schafarewitsch, Igor R. (*1923), 286
Scharlau, Winfried, 184
Schmidt, Otto (1891-1956), 210
Schönemann, Theodor (1812-1868), 89
Scholz, Arnold (1904-1942), 159, 286
Schreier, Otto (1901-1929), 244
Schur, Issai (1875-1941), 161, 190
Siegel, Carl Ludwig (1896-1981), 190
Snyder, Noah, 85
Speiser, Andreas (1885-1970), 235
Steinitz, Ernst (1871-1928), 94, 369
Steuding, Jörn, 90
Stevin, Simon (1548-1620), 40, 53
Storch, Uwe, 364
Swan, Richard G., 321
Sylow, Ludwig (1832-1918), 174
TTartaglia, Nicolo (1500-1557), 269
Tschebyschev, Pafnuty Lvovich (1821- 1894), 305
- van der Waerden, Bartel Leendert (1903-1996), 285, 370
WWantzel, Pierre (1814-1848), 23
Wassermann, Alfred, 209
Weber, Heinrich (1842-1913), 197
Weierstraß, Karl (1815-1897), 330
Wielandt, Helmut (1910-2001), 177
ZZermelo, Ernst (1871-1953), 72
Zimmermann, Nadja, 236
Zorn, Max (1906-1993), 106
Sachverzeichnis
AAbbildung
- bijektive, 367
- injektive, 367
- surjektive, 367
abelsch vom Exponenten n, 250
abelsche Körpererweiterung, 249
Ableitung
- formale, 84
- Produktregel, 84
Abschluss
algebraischer, 94
- ganzer, 310
- separabler, 116
Abstiegslemma von Krull, 361
Adjunktion, 8
- einer Quadratwurzel, 10Äquivalenzrelation, 367
affine KAlgebra, 357
affine KVarietät, 355
affine Untergruppe, 298
algebraisch, 24
algebraisch abgeschlossen, 94
algebraisch abhängig, 335
algebraisch unabhängig, 335
algebraische Hülle, 94
algebraische Menge, 347
- Dimension, 357
- irreduzible, 355
alternierende Gruppe, 290
Artinsches Reziprozitätsgesetz, 195
assoziiert, 55
Auswahlaxiom, 62
Automorphismengruppe, 368
- einer Erweiterung, 113
Automorphismus innerer, 167
von Gruppen, 368
von K-Vektorräumen, 370
BBahn, 164
- Länge, 165
Bahnengleichung, 167
Bertrandsches Postulat, 305
Bezout-Ring, 52
CCardanosche Formel, 295
casus irreducibilis, 296
Charakter, 246
Charaktergruppe, 246
Charakteristik eines Körpers, 46
Chinesischer Restsatz, 65
CM-Körper, 325
DDelisches Problem, 3
Diedergruppe verallgemeinerte, 179
Diskriminante, 133, 323
- eines Zahlkörpers, 324
Doppelnebenklasse, 169
duale Gruppe, 246
duale Zahlen, 88
EEinfachheit von A5 , 303
Einfachheit von An (n > 5), 305
Einheit, 371
Einheitengruppe, 54, 371
Einheitswurzel, 154
elementarsymmetrische Funktion, 281
elliptische Kurve, 346
Endomorphismus, 370
Erweiterungskörper, 8
Erzeugendensystem, 258
erzeugendes Element, 150
euklidische Funktion, 57
euklidischer Algorithmus, 19
Eulersche φ-Funktion, 153
Eulersches Kriterium, 188
exakte Sequenz, 234, 247, 263
Exponent einer Gruppe, 246, 255
Exponentenbewertung, 63
FFaserprodukt, 220
Fixgruppe, 166
Frobeniusautomorphismus, 158
Funktionenkörper rationaler, 45, 304
GGaloisgruppe
- einer Erweiterung, 126
- eines Polynoms, 132
- zyklische, 237, 238
ganz abgeschlossen, 311
ganzalgebraisch, 307
Ganzheitsbasis, 189, 324
Ganzheitsgleichung, 308
Gaußsche Perioden, 196
geordnete Menge, 104
Going-up Theorem, 323
Grad
- einer Körpererweiterung, 14
- einer algebraischen Zahl, 26
Gradformel, 16
größter gemeinsamer Teiler, 55
Gruppe, 368
- alternierende, 290
- auflösbare, 272
- charakteristisch-einfach, 176
- duale, 246
- nilpotente, 178
- projektiv-linear, 145
- symmetrische, 280
- topologische, 215
- torsionsfreie, 262
- vom Exponenten m, 254
- zyklische, 150
Gruppenalgebra, 100
Gruppenring, 100
HHalbgruppe, 368
Halbsystem, 197
Hauptideal, 38, 55
Hauptidealring, 56
Hilbertscher Basissatz, 352
Hilbertscher Irreduzibilitätssatz, 302
Hilbertscher Nullstellensatz, 350
Höhe eines Primideals, 358
Homomorphismus
- einer Körpererweiterung, 91
- verschränkter, 235
- von KVektorräumen, 370
- von Gruppen, 368
- von Körpern, 369
- von Ringen, 371
Hülle
- algebraische, 335
- normale, 99
Hyperfläche, 364
IIdeal
- maximales, 64
- primes, 65
- reduziertes, 349
- zweiseitiges, 34
Ideale
- teilerfremde, 65
Idempotent, 67
Index einer Untergruppe, 166
Inhalt eines Polynoms , 76
inseparabel, 113
Inseparabilitätsgrad, 121
Integritätsring, 26
- normaler, 312
Invariantenteilersatz, 265
Irreduzibilität des Kreisteilungspolynoms, 157
Irreduzibilitätskriterium
- von Eisenstein, 80
- von Schönemann, 89
irreduzibles Element, 58
irreduzibles Polynom, 40
Isomorphismus
- von Gruppen, 368
- von K-Vektorräumen, 370
JJacobisymbol, 193
Jacobsonradikal, 365
KK-Algebra, 372
- affine, 357
K-Homomorphismus, 91
K-Konjugierte, 112
K-lineare Abbildung, 370
K-Varietät, 355
K-Vektorraum, 369
Kette, 104
Klassengleichung, 168
Klassengruppe, 198
kleinstes gemeinsames Vielfaches, 55
Körper
- hilbertscher, 302
- vollkommener, 121
Körper der Brüche, 43
Körpererweiterung
- algebraische, 27
- endliche, 27
- transzendente, 27
Körpererweiterung
- abelsche, 249
- auflösbare, 270
- einfache, 33
- galoissche, 126
- normale, 98
- rein inseparable, 119
- separable, 113
- zyklische, 237
Körperkompositum, 31
Kommutatorgruppe, 303
Konjugationsklasse, 167
konjugiert, 112, 167
konstruierbar, 3
- Konstruktion des regelmäßigen n
- Ecks, 82
Koordinatenring, 356
Kozykel, 136
normiert, 137
Kreisteilung, 4
Kreisteilungskörper, 197
Kreisteilungspolynom, 157
Krulldimension, 358
Krulltopologie, 216
Kummererweiterung, 250
LLegendresymbol, 188
Lemma
- von Gauß, 78, 312
- von Kummer, 325
- von Zorn, 104
Linksnebenklassen, 166
Lokalisierung bei einem Primideal, 70
MMersennesche Zahlen, 184, 196
metazyklisch, 272
Minimalpolynom, 26
Modul, 373
- freier, 102
Moebius-Funktion, 236
Monoid, 99, 368
Monoidalgebra, 100
Nn-te Einheitswurzel, 154
n-te Wurzel, 238
n-tes Kreisteilungspolynom, 157
Nebenklasse, 165
Newtonsche Formeln, 306
Nilradikal, 349
Noetherscher Isomorphiesatz, 276
Norm, 224
- reguläre, 225
Normalbasis, 206
normale Hülle, 99
Normalisator, 169
Normalteiler, 129
normiertes Polynom, 25
Nullstellenmenge, 347
OOperation
- einer Gruppe, 163
- k-fach transitiv, 305
- transitive, 164
Ordnung eines Gruppenelements, 149
Pp-adische Zahlen, 221
p-Bestandteil, 253
p-Gruppe, 168
Paarung, 247
Permutation
- affine, 298
- gerade, 290
- ungerade, 290
Polynom
- charakteristisches, 223
reguläres, 225
- Inhalt, 76
- irreduzibles, 40
- normiertes, 25
primitives, 76
- reines, 238
- separables, 117
Potenzmenge, 367
Primelement, 59
Primideal, 65
primitives Element, 33
Primkörper, 47
Produkt
- direktes, 178
- semidirektes, 179
Produkt von Idealen, 65
projektiver Limes, 214
projektives System, 214
Prüfer-Ring, 221
Qquadratfrei, 81
quadratisch abgeschlossen, 7
Quadratisches Reziprozitätsgesetz, 192
- Ergänzungssätze, 192
Quadratur des Kreises, 3
Quadratwurzel, 10
Quotientenkörper, 44, 76
RRAlgebra, 373
R-Modul, 373
Radikal, 349
Radikalerweiterung, 270
reine Gleichung, 238
reines Polynom, 238
Relationenideal, 35
Ring, 371
- einfacher, 64
- euklidischer, 57
- faktorieller, 58
- lokaler, 70
- mit Eins, 371
- nullteilerfreier, 371
Ringerweiterung, 307
Ringhomomorphismus, 35
SSatz 90
von Hilbert, 232, 235, 239
- von Artin-Schreier, 244
- von Bertrand, 305
- von Cauchy, 174
- von Cayley, 165
- von Dirichlet, 162
- von Euklid, 48
- von Euler-Lagrange, 165
- von Frobenius, 177
- von Galois, 298
- von Gauß, 75
- von Hermite-Lindemann, 83, 332
- von Kronecker, 42, 97
- von Kronecker-Weber, 197
- von Krull-Remak-Schmidt, 210
- von Lüroth, 89, 346
- von Ruffini, 286
- von Speiser, 235
- von Steinitz, 94
- von Stothers-Mason, 85
- von Wilson, 197
Schnitt, 143
separabel, 113
Separabilitätsgrad, 112, 113
Signaturabbildung, 290, 304
Spur, 210, 224
- reguläre, 225
Stabilisator, 166
Standgruppe, 166
Sylowgruppe, 171
symmetrische Funktion, 282
symmetrische Gruppe, 280
TTeiler, 54
- echter, 58
teilerfremd, 55
Teilkörper, 7, 369
Teilraum, 370
Teilring, 371
Tensorprodukt
- von Algebren, 101
torsionsfrei, 262
Torsionsgruppe, 253, 262
transitive Operation, 164
Transitivität
- der Algebraizität, 30
- der Separabilität, 116
Translationssatz, 199
Transposition, 290
transzendent, 24
- rein, 340
Transzendenzbasis, 338
Transzendenzgrad, 340
UUmkehrabbildung, 367
Umkehrproblem der Galoistheorie, 321
Untergruppe, 369
- affine, 298
- charakteristische, 176
- konjugierte, 169
unzerlegbar, 58
VVerschiebungssatz, 199
verschränkter Homomorphismus, 235
Verschwindungsideal, 348
vollkommener Körper, 121
WWinkeldreiteilung, 3
ZZahlen
- algebraische, 24
- transzendente, 24
zahlentheoretische Funktion, 236
Zentralisator, 167
Zentrum, 167
- einer Algebra, 372
Zerfällungskörper, 97
Zwischenkörper, 21, 29
Zyklenzerlegung, 288
zyklische Gruppe, 149
Zyklus, 287
