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Springer-Verlag Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| 1 | Der Zahlenraum R" und der Begriff des reellen Vektorraums | 1 |
| 1.1 | Lineare Gleichungssysteme | 1 |
| 1.1.1 | Beispiele und Spezialfälle | 1 |
| 1.1.2 | Die Eliminationsverfahren von Gauss und Gauss-Jordan | 15 |
| Aufgaben | 28 | |
| 1.2 | Vektorrechnung im Rn und der Begriff des R-Vektorraums | 30 |
| 1.2.1 | Vektoren im Rn, Hyperebenen und Gleichungen | 30 |
| 1.2.2 | Tupel-Vektorräume und der allgemeine R-Vektorraum | 44 |
| Aufgaben | 52 | |
| 1.3 | Lineare Unterräume und das Matrix-Vektor-Produkt | 53 |
| 1.3.1 | Erzeugendensystem und lineare Hülle | 53 |
| 1.3.2 | Das Matrix-Vektor-Produkt | 60 |
| Aufgaben | 72 | |
| 1.4 | Lineare (Un-)Abhängigkeit und Dimension | 73 |
| 1.4.1 | Lineare (Un-)Abhängigkeit und Dimension | 73 |
| 1.4.2 Lineare Gleichungssysteme und ihre Unterräume I: | ||
| Dimensionsformeln | 86 | |
| Aufgaben | 95 | |
| 1.5 | Das euklidische Skalarprodukt im Rn und Vektorräume mit Skalarprodukt | 97 |
| 1.5.1 | Skalarprodukt, Norm und Winkel | 97 |
| 1.5.2 | Orthogonalität und orthogonale Proj ektion | 104 |
| Aufgaben | 123 | |
| 1.6 | Mathematische Modellierung: Diskrete lineare Probleme und ihre Herkunft | 125 |
| Aufgaben | 131 | |
| 1.7 | Affine Räume I | 133 |
| Aufgaben | 143 | |
| 2 | Matrizen und lineare Abbildungen | 145 |
| 2.1 | Lineare Abbildungen | 145 |
| 2.1.1 | Allgemeine lineare Abbildungen | 145 |
| 2.1.2 | Bewegungen und orthogonale Transformationen | 154 |
| Aufgaben | 163 | |
| 2.2 | Lineare Abbildungen und ihre Matrizendarstellung | 164 |
| 2.2.1 | Darstellungsmatrizen | 164 |
| 2.2.2 | Dimension und Isomorphie | 172 |
| Aufgaben | 179 | |
| 2.3 | Matrizenrechnung | 181 |
| 2.3.1 | Matrizenmultiplikation | 181 |
| 2.3.2 | Tensorprodukt von Vektoren und Projektionen | 188 |
| 2.3.3 | Invertierbare Matrizen | 198 |
| 2.3.4 | Das Gauss-Verfahren vom Matrizenstandpunkt | 205 |
| 2.3.5 | Transponierte, orthogonale und symmetrische Matrix | 210 |
| Aufgaben | 229 | |
| 2.4 | Lösbare und nichtlösbare lineare Gleichungssysteme | 230 |
| 2.4.1 | Lineare Gleichungssysteme und ihre Unterräume II | 230 |
| 2.4.2 | Ausgleichsrechnung und Pseudoinverse | 233 |
| 2.4.3 | G AUSS-Verfahren und LR-Zerlegung I | 246 |
| Aufgaben | 255 | |
| 2.5 | Permutationsmatrizen und die LR-Zerlegung einer Matrix | 257 |
| 2.5.1 | Permutationen und Permutationsmatrizen | 257 |
| 2.5.2 | GAUSS-Verfahren und LR-Zerlegung II | 264 |
| Aufgaben | 273 | |
| 2.6 | Die Determinante | 274 |
| 2.6.1 | Motivation und Existenz | 274 |
| 2.6.2 | Eigenschaften | 280 |
| 2.6.3 | Orientierung und Determinante | 294 |
| Aufgaben | 299 | |
| 2.7 | Das Vektorprodukt | 300 |
| Aufgaben | 308 | |
| 2.8 | Affine Räume II | 309 |
| Aufgaben | 317 | |
| 3 | Vom IR-Vektorraum zum Ä-Vektorraum: Algebraische Strukturen | 319 |
| 3.1 | Gruppen und Körper | 319 |
| Aufgaben | 332 | |
| 3.2 | Vektorräume über allgemeinen Körpern | 334 |
| Aufgaben | 342 | |
| 3.3 | Euklidische und unitäre Vektorräume | 344 |
| Aufgaben | 356 | |
| 3.4 | Der Quotientenvektorraum | 357 |
| Aufgaben | 368 | |
| 3.5 | Der Dualraum | 370 |
| Aufgaben | 381 | |
| 4 | Eigenwerte und Normalformen von Matrizen | 383 |
| 4.1 | Basiswechsel und Koordinatentransformationen | 383 |
| Aufgaben | 394 | |
| 4.2 | Eigenwerttheorie | 396 |
| 4.2.1 | Definitionen und Anwendungen | 396 |
| 4.2.2 | Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit | 417 |
| Aufgaben | 435 | |
| 4.3 | Unitäre Diagonalisierbarkeit: Die Hauptachsentransformation | 437 |
| Aufgaben | 450 | |
| 4.4 | Blockdiagonalisierung aus der SCHUR-Normalform | 452 |
| 4.4.1 | Der Satz von Cayley-Hamilton | 452 |
| 4.4.2 | Blockdiagonalisierung mit dem Satz von Cayley-Hamilton | 461 |
| 4.4.3 Algorithmische Blockdiagonalisierung - Die Sylvester- | ||
| Gleichung | 469 | |
| Aufgaben | 476 | |
| 4.5 | Die JoRDANsche Normalform | 477 |
| 4.5.1 | Kettenbasen und die JoRDANsche Normalform im Komplexen | 477 |
| 4.5.2 | Die reelle JoRDANsche Normalform | 493 |
| 4.5.3 | Beispiele und Berechnung | 501 |
| Aufgaben | 511 | |
| 4.6 | Die Singulärwertzerlegung | 513 |
| 4.6.1 | Herleitung | 513 |
| 4.6.2 | Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse | 523 |
| Aufgaben | 528 | |
| 4.7 | Positiv definite Matrizen und quadratische Optimierung | 530 |
| 4.7.1 | Positiv definite Matrizen | 530 |
| 4.7.2 | Quadratische Optimierung | 540 |
| 4.7.3 | Extremalcharakterisierung von Eigenwerten | 550 |
| Aufgaben | 554 | |
| 4.8 | Ausblick: Das Ausgleichsproblem und die QR-Zerlegung | 556 |
| 5 | Bilinearformen und Quadriken | 561 |
| 5.1 | tr-Bilinearformen | 561 |
| 5.1.1 | Der Vektorraum der a-Bilinearformen | 561 |
| 5.1.2 | Orthogonales Komplement | 570 |
| Aufgaben | 580 | |
| 5.2 | Symmetrische Bilinearformen und hermitesche Formen | 582 |
| Aufgaben | 590 | |
| 5.3 | Quadriken | 591 |
| 5.3.1 | Die affine Normalform | 594 |
| 5.3.2 | Die euklidische Normalform | 603 |
| Aufgaben | 606 | |
| 5.4 | Alternierende Bilinearformen | 608 |
| Aufgaben | 614 | |
| 6 | Polyeder und lineare Optimierung | 617 |
| 6.1 | Elementare konvexe Geometrie | 623 |
| Aufgaben | 627 | |
| 6.2 | Polyeder | 628 |
| Aufgaben | 645 | |
| 6.3 | Beschränkte Polyeder | 646 |
| Aufgaben | 653 | |
| 6.4 | Das Optimierungsproblem | 655 |
| Aufgaben | 661 | |
| 6.5 | Ecken und Basislösungen | 663 |
| Aufgaben | 670 | |
| 6.6 | Das Simplex-Verfahren | 671 |
| Aufgaben | 678 | |
| 6.7 | Optimalitätsbedingungen und Dualität | 680 |
| Aufgaben | 691 | |
| 7 | Lineare Algebra und Analysis | 693 |
| 7.1 | Normierte Vektorräume | 693 |
| 7.1.1 | Analysis auf normierten Vektorräumen | 693 |
| 7.1.2 | Normen und Dimension | 700 |
| Aufgaben | 712 | |
| 7.2 | Normierte Algebren | 713 |
| 7.2.1 | Erzeugte und verträgliche Normen | 713 |
| 7.2.2 | Matrixpotenzen | 723 |
| Aufgaben | 744 | |
| 7.3 | HiLBERT-Räume | 746 |
| 7.3.1 | Der RiESZsche Darstellungssatz und der adjungierte Operator | 746 |
| 7.3.2 | SCHAUDER-Basen | 762 |
| Aufgaben | 769 | |
| 7.4 | Ausblick: Lineare Modelle, nichtlineare Modelle, Linearisierung | 770 |
| Aufgaben | 773 | |
| 8 | Einige Anwendungen der Linearen Algebra | 775 |
| 8.1 Lineare Gleichungssysteme, Ausgleichsprobleme und Eigenwerte unter | ||
| Datenstörungen | 775 | |
| 8.1.1 | Lineare Gleichungssysteme | 775 |
| 8.1.2 | Ausgleichsprobleme | 784 |
| 8.1.3 | Eigenwerte | 788 |
| Aufgaben | 792 | |
| 8.2 Klassische Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme und | ||
| Eigenwerte | 794 | |
| 8.2.1 | Das Page-Rank-Verfahren von Google | 794 |
| 8.2.2 Linear-stationäre Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme799 | ||
| 8.2.3 | Gradientenverfahren | 808 |
| 8.2.4 | Die Potenzmethode zur Eigenwertberechnung | 813 |
| Aufgaben | 816 | |
| 8.3 | Datenanalyse,-synthese und-kompression | 819 |
| 8.3.1 | Wavelets | 821 |
| 8.3.2 | Diskrete fourier-Transformation | 828 |
| Aufgaben | 835 | |
| 8.4 | Lineare Algebra und Graphentheorie | 837 |
| Aufgaben | 843 | |
| 8.5 | (Invers-)Monotone Matrizen und Input-Output-Analyse | 844 |
| Aufgaben | 858 | |
| 8.6 | Kontinuierliche und dynamische Systeme | 859 |
| 8.6.1 | Die Lösungsraumstruktur bei linearen Problemen | 859 |
| 8.6.2 | Stabilität: Asymptotisches Verhalten für große Zeiten | 875 |
| 8.6.3 Approximation kontinuierlicher durch diskrete dynamische | ||
| Systeme | 891 | |
| 8.6.4 Ausblick: Vom räumlich diskreten zum räumlich verteilten | ||
| kontinuierlichen Modell | 901 | |
| 8.6.5 | Stochastische Matrizen | 906 |
| Aufgaben | 913 | |
| A Logisches Schließen und Mengenlehre | 915 | |
| A.l Aussagenlogik | 915 | |
| A.2 Mengenlehre | 920 | |
| A.3 Prädikatenlogik | 924 | |
| A.4 Produkte von Mengen, Relationen und Abbildungen | 926 | |
| A.5 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen | 933 | |
| B Zahlenmengen und algebraische Strukturen | 939 | |
| B. 1 Von den Peano-Axiomen zu den reellen Zahlen | 939 | |
| B.2 Schreibweisen und Rechenregeln | 946 | |
| B.3 (Formale) Polynome | 949 | |
| C Analysis in normierten Räumen | 961 | |
| Literaturverzeichnis | 967 | |
| Sachverzeichnis | 969 | |
