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| 4 | Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion | 173 |
| 4.1 | Reelle Zahlenfolgen | 173 |
| 4.1.1 | Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge | 173 |
| 4.1.2 | Grenzwert einer Folge | 175 |
| 4.2 | Grenzwert einer Funktion | 177 |
| 4.2.1 | Grenzwert einer Funktion für x -» xu | 177 |
| 4.2.2 | Grenzwert einer Funktion für * ^ ±oo | 181 |
| 4.2.3 | Rechenregeln für Grenzwerte | 183 |
| mechanischen Systems | 184 | |
| 4.3 | Stetigkeit einer Funktion | 185 |
| 4.4 | Unstetigkeiten (Lücken, Pole, Sprünge) | 186 |
| 5 | Ganzrationale Funktionen (l'olynomfunktionen) | 190 |
| 5.1 | Definition einer ganzrationalen Funktion | 190 |
| 5.2 | Konstante und lineare Funktionen | 191 |
| 5.3 | Quadratische Funktionen | 194 |
| 5.4 | Polynomfunktionen höheren Grades | 198 |
| 5.5 | Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion | 203 |
| 5.6 | Interpolationspolynome | 207 |
| 5.6.1 | Allgemeine Vorbetrachtung | 207 |
| 5.6.2 | Interpolationspolynom von Newton | 208 |
| 5.7 | Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens | 212 |
| 6 | Gebrochenrationale Funktionen | 212 |
| 6.1 | Definition einer gebrochenrationalen Funktion | 212 |
| 6.2 | Nullstellen, Definitionslückcn, Pole | 213 |
| ^Unendlichen.............§ | 219 | |
| 6.4 | Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators | 222 |
| 7 | Potenz- und Wurzelfunktionen | 223 |
| 7.1 | Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten | 223 |
| 7.2 | Wurzelfunktionen | 225 |
| 7.3 | Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten | 228 |
| 7.4 Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem | ||
| elektrischen Feld | 229 | |
| 8 | Kegelschnitte | 230 |
| 8.1 Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung | ||
| 2. | Grades mit konstanten Koeffizienten | 230 |
| 8.2 | Gleichungen eines Kreises | 231 |
| 8.3 | Gleichungen einer Ellipse | 232 |
| 8.4 | Gleichungen einer Hyperbel | 234 |
| 8.5 | Gleichungen einer Parabel | 237 |
| 8.6 | Beispiele zu den Kegelschnitten | 239 |
| xm | ||
| 9 | Trigonometrische Funktionen | 243 |
| 9.1 | Grundbegriffe | 243 |
| 9.2 | Sinus- und Kosinusfunktion | 248 |
| 9.3 | Tangens- und Kotangensfunktion | 249 |
| 9.4 | Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen | 250 |
| 9.5 | Anwendungen in der Schwingungslehre | 252 |
| 9.5.1 | Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) | 252 |
| 9.5.1.1 | Die allgemeine Sinus-und Kosinusfunktion | 252 |
| 9.5.1.2 Harmonische Schwingung eines Federpendels | ||
| (Feder-Masse-Schwinger) | 257 | |
| 9.5.2 | Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm | 258 |
| 9.5.3 | Superposition (Überlagerung) gleichfrequenter Schwingungen | 265 |
| 9.5.4 | Lissajous-Figuren | 270 |
| 1 | » Arkust'unktioncn | 271 |
| 10.1 | Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen | 271 |
| 10.2 | Arkussinusfunktion | 272 |
| 10.3 | Arkuskosinusfunktion | 274 |
| 10.4 | Arkustangens- und Arkuskotangcnsfiinktion | 275 |
| 10.5 | Trigonometrische Gleichungen | 278 |
| 11 | Exponentialfunktionen | 280 |
| 11.1 | Grundbegriffe | 280 |
| 11.2 | Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion | 280 |
| 11.3 Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen | ||
| mit e-Funktionen | 282 | |
| 11.3.1 | Abklingfunktionen | 282 |
| 11.3.2 | Sättigungsfunktionen | 285 |
| 11.3.3 | Wachstumsfunktionen | 288 |
| 11.3.4 | Gedämpfte Schwingungen | 289 |
| 11.3.5 | Gauß-Funktionen | 291 |
| 12 | Logarithmusfunktionen | 292 |
| 12.1 | Grundbegriffe | 292 |
| 12.2 | Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion | 295 |
| 12.3 | Exponential- und Logarithmusglcichungen | 298 |
| 13 | Hyperbel- und Areafunktionen | 300 |
| 13.1 | Hyperbelfunktionen | 300 |
| 13.1.1 | Definition der Hyperbelfiinktionen | 300 |
| 13.1.2 | Die Hyperbelfunktionen y = sinhx und y = cosh-t | 301 |
| 13.1.3 | Die Hyperbelfunktionen y = tanh* und y = coth* | 303 |
| 13.1.4 | Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen | 304 |
| 13.2 | Areafunktionen | 305 |
| 13.2.1 | Definition der Areafunktionen | 305 |
| 13.2.2 | Die Areafunktionen y --- arsinhj; und y - arcoshj; | 305 |
| 8.2 | Partielle Integration oder Produktintegration | 462 |
| 8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch | ||
| Partialbruchzerlegung des Integranden | 468 | |
| 8.3.1 | Partialbruchzerlegung | 469 |
| 8.3.2 | Integration der Partialbräche | 471 |
| 8.4 | Numerische Integrationsmethoden | 475 |
| 8.4.1 | Trapezformel | 476 |
| 8.4.2 | Simpsonsche Formel | 481 |
| 9 | Uneigentliche Integrale | 487 |
| 9.1 | Unendliches Integrationsintervall | 488 |
| 9.2 | Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol) | 492 |
| 10.1 | Einfache Beispiele aus Physik und Technik | 495 |
| 10.1.1 | Integration der Bewegungsgleichung | 495 |
| 10.1.2 | Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens | 498 |
| 10.1.3 | Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes | 500 |
| 10.2 | Flächeninhalt | 501 |
| 10.2.1 | Bestimmtes Integral und Flächeninhalt (Ergänzungen) | 501 |
| 10.2.2 | Flächeninhalt zwischen zwei Kurven | 506 |
| 10.3 | Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen) | 512 |
| 10.4 | Bogenlänge einer ebenen Kurve | 518 |
| 10.5 | Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche) | 521 |
| 10.6 | Arbeits- und Energiegrößen | 525 |
| 10.7 | Lineare und quadratische Mittelwerte | 531 |
| 10.8 | Schwerpunkt homogener Flächen und Körper | 536 |
| 10.8.1 | Grundbegriffe | 536 |
| 10.8.2 | Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche | 538 |
| 10.8.3 | Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers | 544 |
| 10.9 | Massenträgheitsmomente | 549 |
| 10.9.1 | Grundbegriffe und einfache Beispiele | 549 |
| 10.9.2 | Satz von Steiner | 552 |
| 10.9.3 | Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers | 554 |
| Übungsaufgaben | 559 | |
| Zu Abschnitt 1 bis 7 | 559 | |
| Zu Abschnitt 8 | 562 | |
| Zu Abschnitt 9 | 564 | |
| Zu Abschnitt 10 | 565 | |
| VI Potenzreihenentwicklungen | 570 | |
| 1 | Unendliche Reihen | 570 |
| 1.1 | Ein einführendes Beispiel | 570 |
| 1.2 | Grundbegriffe | 572 |
| 1.2.1 | Definition einer unendlichen Reihe | 572 |
| 1.2.2 | Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe | 573 |
| 1.2.3 | Über den Umgang mit unendlichen Reihen | 577 |
| 1.3 | Konvergenzkriterien | 578 |
| 1.3.1 | Quotientenkriterium | 579 |
| 1.3.2 | Wurzelkriterium | 583 |
| 1.3.3 | Vergleichskriterien | 583 |
| 1.3.4 | Leibnizsches Konvergenzkrilerium für alternierende Reihen | 586 |
| 1.4 | Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen | 588 |
| 2 | Potenzreihen | 590 |
| 2.2 | Konvergenzverhalten einer Potenzreihe | 591 |
| 2.3 | Eigenschaften der Potenzreihen | 596 |
| 3 | Taylor-Reihen | 597 |
| 3.1 | Ein einführendes Beispiel | 598 |
| 3.2 | Potenzreihenentwicklung einer Funktion | 599 |
| 3.2.1 | Mac Laurinsche Reihe | 599 |
| 3.2.2 | Taylorsche Reihe | 607 |
| 3.2.3 | Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihcnentwicklungen | 608 |
| 3.3 | Anwendungen der Potenzreihenentwicklungen | 610 |
| 3.3.1 | Näherungspolynome einer Funktion | 610 |
| 3.3.2 | Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden | 621 |
| 3.3.3 | Grenzwertregel von Bernoulli und de L'Hospital | 624 |
| 3.4 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung | ||
| des Luftwideistandes | 630 | |
| Übungsaufgaben | 633 | |
| Zu Abschnitt 2 | 635 | |
| Zu Abschnitt 3 | 635 | |
| VII Komplexe Zahlen und Funktionen | 640 | |
| 1 | Definition und Darstellung einer komplexen Zahl | 640 |
| 1.1 | Definition einer komplexen Zahl | 640 |
| 1.2 | Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene | 643 |
| 1.3 | Weitere Grundbegriffe | 646 |
xvn | ||
| Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben | 721 | |
| I Allgemeine Grundlagen | 721 | |
| Abschnitt 1 und 2 | 721 | |
| Abschnitt 3 | 721 | |
| Abschnitt 4 | 723 | |
| Abschnitt 5 | 726 | |
| Abschnitt 6 | 727 | |
| II Vcktoralgcbra | 728 | |
| Abschnitt 2 und 3 | 728 | |
| Abschnitt 4 | 734 | |
| III Funktionen und Kurven | 743 | |
| Abschnitt I | 743 | |
| Abschnitt 2 | 745 | |
| Abschnitt 3 | 746 | |
| Abschnitt 4 | 747 | |
| Abschnitt 5 | 749 | |
| Abschnitt 6 | 752 | |
| Abschnitt 7 | 755 | |
| Abschnitt 8 | 755 | |
| Abschnitt 9 und 10 | 756 | |
| Abschnitt 11, 12 und 13 | 762 | |
| IV Differentialrechnung | 764 | |
| Abschnitt 1 | 764 | |
| Abschnitt 2 | 764 | |
| Abschnitt 3 | 773 | |
| V Integralrechnung | 787 | |
| Abschnitt 1 bis 7 | 787 | |
| Abschnitt 8 | 789 | |
| Abschnitt 9 | 798 | |
| Abschnitt 10 | 799 | |
| VI Potenzreihenentwicklungen | 807 | |
| Abschnitt 2 | 810 | |
| Abschnitt 3 | 811 | |
| VII Komplexe Zahlen und Funktionen | 822 | |
| Abschnitt 1 | 822 | |
| Abschnitt 2 | 824 | |
| Abschnitt 3 | 829 | |
| Abschnitt 4 | 832 | |
| Literaturhinweise | 835 | |
| Sachwortverzeichnis | 836 | |
