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| Kapitel I. a-Algebren und Boreische Mengen | 1 | |
| § 1. Das Inhaltsproblem und das Maßproblem | 1 | |
| § 2. Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen | 6 | |
| 1. Bezeichnungen g | ||
| 2. | Limes superior und Limes inferior | 3 |
| Aufgaben | 20 | |
| § 3. Ringe, Algebren, a-Ringe und a-Algebren | 11 | |
| 1. Ringstruktur von %S(X) H | ||
| 2. | Ringe und Algebren | 21 |
| 3. | cr-Ringe und cr-Algebren | 13 |
| Aufgaben | 25 | |
| § 4. Erzeuger und Boreische Mengen lg | ||
| 1. | Erzeuger | 26 |
| 2. | Boreische Mengen | 27 |
| 3. | Verhalten unter Abbildungen | 19 |
| Aufgaben | 20 | |
| § 5. Halbringe | 20 | |
| 1. | Halbringe | 20 |
| 2. | Der von einem Halbring erzeugte Ring | 22 |
| Aufgaben | 22 | |
| § 6. Monotone Klassen und Dynkin-Systeme | 23 | |
| 1. | Monotone Klassen | 23 |
| 2. | Dynkin-Systeme | 24 |
| Aufgaben | 26 | |
| Kapitel II. Inhalte und Maße | 27 | |
| § 1. Inhalte, Prämaße und Maße | 27 | |
| 1. | Definitionen und erste Folgerungen | 27 |
| 2. | Ein erster Fortsetzungssatz | 30 |
| 3. | Eigenschaften von Inhalten | 31 |
| 4. | Charakterisierung der a-Additivität | 32 |
| 5. | Historische Anmerkungen | 33 |
| Aufgaben | 34 | |
| § 2. Inhalte und Prämaße auf R | 37 | |
| 1. | Endliche Inhalte auf 3 | 37 |
| 2. | Endliche Prämaße auf 3 | 38 |
| 3. | Kurzbiographie von é. Borel | 41 |
| Aufgaben | 42 | |
| Inhaltsverzeichnis | ||
| § 3. Inhalte und Prämaße auf W | 43 | |
| 1. | Das Lebesguesche Prämaß auf 3P | 43 |
| 2. | Differenzenoperatoren | 44 |
| 3. | Inhalte auf 3P | 46 |
| 4. | Prämaße auf 3P | 47 |
| 5. | Kurzbiographie von J. Radon | 43 |
| Aufgaben | 49 | |
| §4. Fortsetzung von Prämaßen zu Maßen | 33 | |
| 1. | Äußere Maße | 50 |
| 2. | Der Fortsetzungssatz | 33 |
| 3. | Die Lebesgue-meßbaren Teilmengen des W | 33 |
| 4. | Kurzbiographie von C. Caratheodory | 37 |
| Aufgaben | 33 | |
| §5. Eindeutigkeit der Fortsetzung | 39 | |
| 1. | a-endliche Inhalte | 39 |
| 2. | Der Eindeutigkeitssatz | 39 |
| 3. | Wahrscheinlichkeitsmaße und Verteilungsfunktionen auf R | 61 |
| Aufgaben | 32 | |
| § 6. Vollständige Maßräume | 33 | |
| Aufgaben | 33 | |
| § 7. Das Lebesguesche Maß | 33 | |
| 1. | Approximationssätze | 33 |
| 2. | Charakterisierung der Lebesgue-Meßbarkeit | 37 |
| 3. | Der Satz von H. Steinhaus | 33 |
| 4. | Meßbarkeit konvexer Mengen | 33 |
| Aufgaben | 39 | |
| § 8. Das Cantorsche Diskontinuum | 79 | |
| 1. | Konstruktion von C | 79 |
| 2. | Triadische Entwicklung | 71 |
| 3. | Mächtigkeiten von W und Zp | 73 |
| 4. | Die Cantorsche Funktion | 73 |
| Aufgaben | 74 | |
| § 9. Metrische äußere Maße und Hausdorff-Maße | 73 | |
| 1. | Metrische äußere Maße | 73 |
| 2. | Hausdorff-Maße | 73 |
| 3. | Rektifizierbare Kurven | 73 |
| 4. | Kurzbiographie von F. Hausdorff | 39 |
| Aufgaben | 32 | |
| Kapitel III. Meßbare Funktionen | 83 | |
| § 1. Meßbare Abbildungen und Bildmaße | 85 | |
| 1. | Meßbare Abbildungen | 85 |
| 2. | Bildmaße | 87 |
| Aufgaben | 88 | |
| § 2. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes | 89 | |
| 1. | Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes | 89 |
| 2. Das Bildmaß des Lebesgue-Maßes unter bijektiven affinen | ||
| Abbildungen | 92 | |
| 3. | Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes | 92 |
| 4. | Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß | 94 |
| Aufgaben | 95 | |
| § 3. Existenz nicht meßbarer Mengen | 96 | |
| 1. Nicht Lebesgue-meßbare Mengen und Unlösbarkeit des | ||
| Maßproblems | 96 | |
| 2. | Kurzbiographie von G. Vitali | 99 |
| 3. | Weitere Beispiele nicht Lebesgue-meßbarer Mengen | 99 |
| 4. Existenz nicht meßbarer Mengen für Lebesgue-Stieltjessche | ||
| Maße | 200 | |
| Aufgaben | 202 | |
| § 4. Meßbare numerische Funktionen | 203 | |
| 1. | Rechnen in M, Topologie von M | 204 |
| 2. | Meßbare numerische Funktionen | 205 |
| 3. | Approximation durch Treppenfunktionen | 108 |
| 4. | Abzählbar erzeugte Meßräume | 209 |
| 5. | Ein minimaler Erzeuger von 931 | 109 |
| Aufgaben | 210 | |
| §5. Produkt-cr-Algebren | 112 | |
| 1. | Initial-cr-Algebren und Produkt-a-Algebren | 112 |
| 2. | Borel-Mengen topologischer Produkte | 114 |
| 3. | Meßbarkeit der Diagonalen | 115 |
| Aufgaben | 216 | |
| Kapitel IV. Das Lebesgue-Integral | 119 | |
| § 1. Integration von Treppenfunktionen | 120 | |
| Aufgaben | 221 | |
| § 2. Integration nicht-negativer meßbarer Funktionen | 122 | |
| 1. | Definition des Integrals | 122 |
| 2. | Der Satz von der monotonen Konvergenz | 125 |
| 3. | Kurzbiographie von B. Levi | 126 |
| 4. | Maße mit Dichten | 127 |
| Aufgaben | 227 | |
| § 3. Integrierbare Funktionen | 128 | |
| 1. | Integrierbare Funktionen | 128 |
| 2. | Linearität und Monotonie des Integrals | 131 |
| 3. | Der Raum C1 | 132 |
| 4. | Stetige Funktionen mit kompaktem Träger | 133 |
| 5. | Integration über meßbare Teilmengen | 135 |
| 6. | Historische Anmerkungen | 136 |
| 7. | Kurzbiographie von W.H. Young | 137 |
| Aufgaben | 138 | |
| § 4. Fast überall bestehende Eigenschaften | 140 | |
| Aufgaben | 142 | |
| § 5. Konvergenzsätze | 144 | |
| 1. | Das Lemma von Fatou | 144 |
| 2. | Kurzbiographie von P. Fatou | 145 |
| 3. | Der Satz von der majorisierten Konvergenz | 145 |
| 4. | Von einem Parameter abhängige Integrale | 147 |
| 5. | Der Satz von Scheffe | 149 |
| Aufgaben | 150 | |
| §6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral | 151 | |
| 1. | Eigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral | 151 |
| 2. | Uneigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral | 153 |
| 3. | Mittelwertsätze der Integralrechnung | 156 |
| 4. | Kurzbiographie von H. LEBESGUE | 157 |
| Aufgaben | 160 | |
| Kapitel V. Produktmaße, Satz von Fubini und Transformationsformel | 163 | |
| §1. Produktmaße | 163 | |
| 1. | Produkt-cr-Algebren | 164 |
| 2. | Produktmaße | 164 |
| 3. | Das Cavalierische Prinzip | 169 |
| 4. | Produkte endlich vieler Maßräume | 170 |
| 5. | Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß | 171 |
| Aufgaben | 173 | |
| § 2. Der Satz von Fubini | 175 | |
| 1. | Der Satz von Fubini | 175 |
| 2. | Historische Anmerkungen | 180 |
| 3. | Beispiele für Anwendungen des Satzes von Fubini | 181 |
| 4. | Der Gaußsche Integralsatz für die Ebene | 184 |
| 5. | Kurzbiographien von G. Fubini und L. Tonelli | 187 |
| Aufgaben | i88 | |
| §3. Faltung und Fourier-Transformation | 191 | |
| 1. | Integration in bezug auf Bildmaße | 191 |
| 2. | Transformation von Maßen mit Dichten | 192 |
| 3. | Die Faltung auf ßp) | 193 |
| 4. | Die Fourier-Transformation | 195 |
| Aufgaben | 200 | |
| §4. Die Transformationsformel | 201 | |
| 1. | Die Transformationsformel | 202 |
| 2. | Der Satz von Sard | 209 |
| 3. | Verallgemeinerte Transformationsformel | 211 |
| 4. | Transformation von Maßen mit Dichten bez. Xp | 211 |
| 5. | Der Brouwersche Fixpunktsatz | 213 |
| Aufgaben | 215 | |
| Kapitel VI. Konvergenzbegriffe der Maß- | ||
| und Integrationstheorie | 219 | |
| § 1. Die Ungleichungen von Jensen, Holder und Minkowski | 220 | |
| 1. | Die Jensensche Ungleichung | 220 |
| 2. | Die Höldersche Ungleichung | 223 |
| 3. | Die Minkowskische Ungleichung | 224 |
| 4. | Historische Anmerkungen | 225 |
| Aufgaben | 226 | |
| § 2. Die Räume Lp und der Satz von Riesz-Fischer | 229 | |
| 1. | Die Räume jCp und 17 | 229 |
| 2. | Der Satz von Riesz-Fischer | 231 |
| 3. | Die Banach-Algebra Ll (Rn, ßn) | 234 |
| 4. | Der Hilbert-Raum L2(/x) | 235 |
| 5. | Der Banach-Verband L^ | 240 |
| 6. | Dichte Unterräume von Lp | 242 |
| 7. | Der Satz von Plancherel | 243 |
| 8. | Der Satz von Fatou über Potenzreihen | 244 |
| 9. | Historische Anmerkungen | 245 |
| 10. | Kurzbiographien von F. Riesz und E. Fischer | 246 |
| Aufgaben | 247 | |
| §3. Der Satz von Jegorow | 250 | |
| 1. | Konvergenz /¿-fast überall | 250 |
| 2. | Fast gleichmäßige Konvergenz | 251 |
| 3. | Kurzbiographie von D.F. Jegorow | 252 |
| Aufgaben | 253 | |
| §4. Konvergenz nach Maß | 253 | |
| 1. | Konvergenz nach Maß und lokal nach Maß | 254 |
| 2. | Cauchy-Folgen für die Konvergenz nach Maß | 255 |
| 3. | Vergleich der Konvergenzbegriffe | 256 |
| 4. Charakterisierung der Konvergenz n.M. und der Konvergenz | ||
| lokal n.M | 257 | |
| Aufgaben | 258 | |
| § 5. Konvergenz in Cp | 259 | |
| 1. | Der Satz von Pratt | 260 |
| 2. | Konvergenz in Cv | 261 |
| 3. | Der Konvergenzsatz von Vitali | 262 |
| 4. | Schwache Konvergenz in Cp | 263 |
| Aufgaben | 267 | |
| Kapitel VII. Absolute Stetigkeit | 269 | |
| § 1. Signierte Maße; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz | 269 | |
| 1. | Signierte Maße | 269 |
| 2. | Der Hahnsche Zerlegungssatz | 271 |
| 3. | Positive Variation, negative Variation und Variation | 272 |
| 4. | Jordanscher Zerlegungssatz | 273 |
| 5. | Der Banach-Verband der endlichen signierten Maße | 274 |
| 6. | Kurzbiographie von H. Hahn | 275 |
| Aufgaben | 277 | |
| §2. Der Satz von Radon-Nikodym und der Lebesguesche | ||
| Zerlegungssatz | 279 | |
| 1. | Absolute Stetigkeit | 279 |
| 2. | Der Satz von Radon-Nikodym | 280 |
| 3. | Kurzbiographie von O. Nikodym | 284 |
| 4. | Der Lebesguesche Zerlegungssatz | 285 |
| Aufgaben | 287 | |
| §3. Der Dualraum von Lp (1 < p < oo) | 288 | |
| 1. | Der Dualraum von (1 < p < oo) | 288 |
| 2. Die multiplikativen Linearformen auf der Banach-Algebra | ||
| L\Hm) | 293 | |
| Aufgaben | 295 | |
| § 4. Absolut stetige Funktionen auf R | 296 | |
| 1. | Der Überdeckungssatz von Vitali | 296 |
| 2. | Differenzierbarkeit monotoner Funktionen A-f.ü | 298 |
| 3. | Der Dichtesatz | 301 |
| 4. | Absolut stetige Funktionen auf R | 302 |
| 5. | Lebesguesche Zerlegung Lebesgue-Stieltjesscher Maße | 306 |
| 6. | Rektifizierbare Kurven | 308 |
| Aufgaben | 309 | |
| Inhaltsverzeichnis | ||
| Kapitel VIII. Maße auf topologischen Räumen | 312 | |
| §1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularität | 313 | |
| 1. | Grundbegriffe | 313 |
| 2. | Regularitätssätze | 317 |
| 3. Moderate Borel-Maße 31g | ||
| 4. | Regularität von Borel-Maßen | 318 |
| 5. | Regularität von Borel-Maßen auf polnischen Räumen | 320 |
| 6. | Der Satz von Lusin | 323 |
| 7. | Kurzbiographie von N.N. Lusin | 324 |
| Aufgaben | 327 | |
| §2. Der Darstellungssatz von F. Riesz | 328 | |
| 1. | Problemstellung | 328 |
| 2. | Fortsetzungssatz | 329 |
| 3. Der Darstellungssatz von F. Riesz für | ||
| lokal-kompakte Räume | 335 | |
| 4. Der Darstellungssatz von F. Riesz für | ||
| vollständig reguläre Räume | 339 | |
| 5. | Träger von Maßen | 343 |
| 6. Der Darstellungssatz von F. Riesz für stetige Linearformen | ||
| auf Cq(X) | 345 | |
| Aufgaben | 350 | |
| § 3. Das Haarsche Maß 35] | ||
| 1. | Topologische Gruppen | 352 |
| 2. | Linksinvariante Linearformen und Maße | 354 |
| 3. | Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen Maßes | 356 |
| 4. | Anwendungen des Haar-Maßes | 366 |
| 5. | Invariante und relativ invariante Maße auf Restklassenräumen | 368 |
| 6. | Kurzbiographie von A. Haar | 375 |
| Aufgaben | 375 | |
| §4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit | 378 | |
| 1. | Eine Regularitätseigenschaft endlicher Alaße auf metrischen Räumen | 379 |
| 2. | Schwache und vage Konvergenz von Folgen von Alaßen | 380 |
| 3. | Das Portmanteau-Theorem | 384 |
| 4. Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen | ||
| und die Sätze von Helly-Bray und Helly | 386 | |
| 5. | Der Satz von Prochorov | 392 |
| 6. | Die Laplace-Transformation | 398 |
| 7. | Die Prochorov-Metrik | 491 |
| Aufgaben 49g | ||
| Anhang A. Topologische Räume | ||
| Anhang B. Transfinite Induktion | ||
| Literaturverzeichnis | ||
| Namenverzeichnis | ||
| Symbolverzeichnis | ||
| Sachverzeichnis | ||
Inhaltsverzeichnis | ||
| 41 | ||
| 414 | ||
| 416 | ||
| 423 | ||
| 428 | ||
| 429 | ||
