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| Maß- und Integrationstheorie, Kapitel 1-4 | 1 | |
| 1 | Maßtheoretische Grundlagen | 3 |
| 1.1 | Inhalte und Maße | 3 |
| 1.2 | Das Lebesgue-Maß | 12 |
| 2 | Das allgemeine Lebesgue-Integral: erste Eigenschaften | 17 |
| 2.1 | Messbare Abbildungen und das Lebesgue-Integral | 17 |
| 2.2 | Konvergenzsätze | 21 |
| 3 | Weitere klassische Sätze der Integrationstheorie | 25 |
| 3.1 | Produktmaße und der Satz von Fubini | 25 |
| 3.2 | Der Transformationssatz | 31 |
| 3.3 | Der Satz von Radon & Nikodym | 36 |
| 4 | Die IT-Räume | 41 |
| 4.1 | Definition und erste Eigenschaften | 41 |
| 4.2 | Die Faltung | 44 |
| 4.3 | Vollständigkeits- und Dichtheitsaussagen | 46 |
| Funktionentheorie, Kapitel 5-10 | 51 | |
| 5 | Holomorphe Abbildungen und Integration | 53 |
| 5.1 | Holomorphe Abbildungen | 55 |
| 5.2 | Integration | 58 |
| 6 | Der Cauchysche Integralsatz und Potenzreihenentwicklung | 63 |
| 6.1 | Der Cauchysche Integralsatz | 63 |
| 6.2 | Die Cauchysche Integralformel | 66 |
| 6.3 | Potenzreihenentwicklung | 69 |
| 6.4 | Cauchysche Ungleichung und Folgerungen | 72 |
| 6.5 | Umkehrung holomorpher Funktionen | 75 |
| 7 | Spezielle Funktionen und das Schwarzsche Lemma | 77 |
| 7.1 | Spezielle Funktionen | 77 |
| 7.2 Das Schwarzsche Lemma und das Schwarzsche Spiegelungs- | ||
| prinzip | 88 | |
| 8 | Ganze Funktionen und Laurentreihen | 91 |
| 8.1 | Ganze Funktionen | 91 |
| 8.2 | Laurentreihen | 96 |
| 9 | Der Residuenkalkül | 103 |
| 10 | Konforme Abbildungen: Der Riemannsche Abbildungssatz | 115 |
| Funktionalanalysis, Kapitel 11 - 19 | 119 | |
| 11 | Topologische und metrische Räume, Kompaktheit | 121 |
| 11.1 | Topologie und Metrik | 121 |
| 11.2 | Kompaktheit | 127 |
| 12 | Normierte Räume und Hilberträume | 131 |
| 12.1 | Normierte Räume und Banachräume | 131 |
| 12.2 | Hilbert räume | 135 |
| 12.3 Der Approximationssatz und der Satz von Riesz für Hilbert- | ||
| räume | 136 | |
| 12.4 | Orthonormalbasen | 140 |
| 13 | Lineare Operatoren: Grundbegriffe | 147 |
| 13.1 | Stetige lineare Abbildungen in normierten Räumen | 147 |
| 13.2 | Strukturen in endlich-dimensionalen Räumen | 151 |
| 13.3 | Spektrum und Resolvente | 152 |
| 14 | Dualräume und adjungierte Operatoren | 159 |
| 14.1 | Hahn & Banach-Sätze | 159 |
| 14.2 | Dualräume und Reflexivität, adjungierte Operatoren | 162 |
| 15 | Der Satz von Baire, Folgerungen und schwache Konvergenz | 167 |
| 15.1 | Der Satz von Baire und seine Folgerungen | 167 |
| 15.2 | Schwache Konvergenz | 172 |
| 16 | Distributionen und Sobolevräume | 179 |
| 16.1 | Distributionen | 179 |
| 16.2 | Sobolevräume: Definition und erste Eigenschaften | 182 |
| 16.3 | Wichtige Sätze aus der Theorie der Sobolevräume | 185 |
| 17 | Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren | 191 |
| 17.1 | Nützliches über das Spektrum | 191 |
| 17.2 Kriterien für die Selbstadjungiertheit symmetrischer | ||
| Operatoren | 196 | |
| 18 | Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren | 199 |
| 18.1 | Motivation | 199 |
| 18.2 | Orthogonale Projektionen und Spektralscharen | 202 |
| 18.3 | Der Spektralsatz für beschränkte Operatoren | 206 |
| 18.4 | Spektralzerlegung unitärer Operatoren | 213 |
| 18.5 | Der Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren | 216 |
| 19 | Kompakte lineare Abbildungen | 223 |
| Partielle Differentialgleichungen, Kapitel 20 - 25 | 227 | |
| 20 | Ein Überblick | 229 |
| 20.1 | Grundbegriffe und Beispiele | 229 |
| 20.2 | Lösungsansätze | 233 |
| 21 | Gleichungen erster Ordnung und Typeinteilung | 235 |
| 21.1 | Gleichungen erster Ordnung | 235 |
| 21.2 | Typeinteilung bei linearen Gleichungen zweiter Ordnung | 239 |
| 22 | Grundlösungen und elliptische Gleichungen | 243 |
| 22.1 | Faltung von Distributionen | 243 |
| 22.2 | Existenz einer Grundlösung zu A | 245 |
| 22.3 | Maximum- und Minimumprinzip | 248 |
| 23 | Parabolische Gleichungen | 251 |
| 23.1 | Die Fourier-Transformation | 251 |
| 23.2 | Die Wärmeleitungsgleichung | 253 |
| 23.3 | Die Gleichung von Black & Scholes | 256 |
| 23.4 | Maximumprinzip, Energieabschätzungen | 259 |
| 24 | Hyperbolische Gleichungen | 263 |
| 24.1 | Die Wellengleichung im R1 | 263 |
| 24.2 | Die Wellengleichung im R3 und im R2 | 266 |
| 24.3 | Die Wellengleichung im Rn: Fouriertransformation | 269 |
| 24.4 | Energiegleichung und allgemeine Gebiete | 271 |
| 25 | Hilbertraum-Methoden | 273 |
| 25.1 | Die Randwertaufgabe zu — A + 1 | 273 |
| 25.2 | Allgemeinere Differentialoperatoren | 275 |
| Prüfungsvorbereitung | 279 | |
| 26 | Prüfungsvorbereitung | 281 |
| 26.1 | Analysis III: Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie | 281 |
| 26.2 | Funktionentheorie | 282 |
| 26.3 | Funktionalanalysis | 284 |
| 26.4 | Partielle Differentialgleichungen | 287 |
| Literaturverzeichnis | 289 | |
| Notation | 291 | |
| 299 | ||
| Index | ||
Abbildung
biholomorphe, 76
offene, 121
stetige, 121
abgeschlossen
schwach folgen-, 178
abgeschlossen (Menge), 123
Ableitung einer Distribution, 181
Ableitungsoperator, 153
Abschließung eines Operators, 153
Abschluss einer Menge, 123
absolut konvex, 160
Additionstheoreme, 86
additiv, 5
adjungierter Operator
beschränkte Operatoren, 165, 166
unbeschränkte Operatoren, 165, 166
d'Alembert, J.-B. L. R., 265
d'Alembertsche Formel, 265
Algebra, 3
erzeugte, 4
Anfangsrandwertaufgabe, 240, 260
Anfangswertproblem, 253
Approximationssatz, 178
Ausbreitungsgeschwindigkeit endliche, 269
unendliche, 256
Automorphismengruppe (des Norm- gebietes), 115
Baire, R. L., 167
Banachraum, 132
Banachscher Fixpunktsatz, 127
Basis
einer Topologie, 123
beschränkt, 126
biholomorph, 76
Bildmaß, 31
Bilinearform, 139
Black & Scholes-Formel, 256
Black, F. S., 231
Borel-cr- Algebra, 12
Caratheodory, C., 9
Casorati, F., 93
Cauchy & Riemann-Differentialglei-
chungen, 54, 56
Cauchy-Folge, 126
schwache -,174
Cauchysche Anfangswertaufgabe, 235, 240
Cauchysche Integralformel allgemeine, 67
für Kreisscheiben, 66
Cayley, A., 216
Cayley-Transformierte, 216
Charakteristik
bei PDGL erster Ordnung, 236
bei PDGL zweiter Ordnung, 241
charakteristisch, 236
Cm-Gebiet, 246
dicht, 123
dicht definiert, 165
Dichte, 19
Differentialgleichung
partielle, 229
differenzierbar
