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| 1 Kurven und Wege | ||
| 1.1 | Kurven | 2 |
| 1.2 | Differenzierbare Kurven | 6 |
| 1.3 | Rektifizierbare Kurven | 12 |
| 1.4 | Wege | 17 |
| 1.5 | Ergänzungen | 21 |
| Aufgaben | 24 | |
| 2 Mehrdimensionale Differenziation | ||
| 2.1 | Elemente der Linearen Algebra | 28 |
| 2.2 | Totale Ableitung | 34 |
| 2.3 | Richtungsableitungen | 41 |
| 2.4 | Das Lemma von Hadamard | 48 |
| 2.5 | Gradient | 50 |
| 2.6 | Höhere Ableitungen | 54 |
| Aufgaben | 59 | |
| 3 Mehrdimensionale Analysis | ||
| 3.1 | Die Taylor sehe Formel | 64 |
| 3.2 Lokale Extrema | ||
| 3.3 | Konvexe Mengen und Funktionen | 83 |
| 3.4 | Umkehrabbildungen | 90 |
| 3.5 | Implizite Funktionen | 105 |
| 3.6 | Mannigfaltigkeiten | 116 |
| 3.7 | Extrema mit Nebenbedingungen | 124 |
| Aufgaben | 129 | |
| 4 Wegintegrale | ||
| 4.1 Pf äff sehe Formen ¡34 | ||
| 4.2 | Kurven- und Wegintegrale | 136 |
| 4 | -3 Wegintegrale exakter 1-Formen | 142 |
| 4 | -4 Lokal exakte 1-Formen | 148 |
| 4 | -5 Global exakte 1-Formen | 151 |
| Aufgaben | 157 | |
| nhaltsverzeichnis | ||
| 5 Lineare Differenzialgleichungen | ||
| 5.1 | Exponenziale linearer Operatoren | 160 |
| 5.2 | Die lineare Differenzialgleichung | 165 |
| 5.3 Zweidimensionale lineare Systeme r? | ||
| 5.4 | Diagonalisierbare Gleichungen | 181 |
| 5.5 | Allgemeine Gleichungen | 187 |
| 5.6 | Rein imaginäre Eigenwerte | 191 |
| Aufgaben | 199 | |
| 6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen | ||
| 6.1 | Vektorfelder und Differenzialgleichungen | 204 |
| 6.2 | Einige Hilfssätze | 08 |
| 6.3 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz | ||
| 6.4 | Flüsse | 217 |
| 6.5 | Maximale Flüsse | 223 |
| 6.6 Konjugation von Vektorfeldern und Flüssen >5 | ||
| Aufgaben | 231 | |
| 7 Gleichgewichtspunkte | ||
| 7.1 | Stabilität | 236 |
| 7.2 | Die Sätze von Lyapunov | 240 |
| 7.3 | Lyapunovfunktionen | 248 |
| 7.4 | Hyperbolische Gleichgewichtspunkte | 252 |
| Aufgaben | 258 | |
| 8 Periodische Bahnen | ||
| 8.1 | Poincareabbildungen | 262 |
| 8.2 | Periodische Attraktoren | 269 |
| 8.3 | Ein Fortsetzungssatz | 272 |
| x | ||
| 8.4 | Floquettheorie | 276 |
| Aufgaben | 282 | |
| Literatur >85 | ||
| Index | 286 | |
| Bezeichnungen | 291 | |
l-Form 134
exakte 142
geschlossene 148
stetige 136 1-Parametergruppe 163
Abbildung affine 3 7
beschränkte 28
bilineare 58
differenzierbare 6
flächentreue 169
glatte 58
reguläre 92
abhängig, rational 193,196
Abhängigkeit,
empfindliche 216
Ableitung 8
erste 6
partielle 42, 54
totale 35
zweite partielle 54
absolut konvergent 161
adaptierte Norm 199, 241, 270
adaptiertes Skalarprodukt 241
Affensattel 76
affine Abbildung 37
«-instabil 238
«-stabil 238
asymptotisch 238
allgemeine Leibnizformel 129
analytisch, reell 70
Anfangspunkt 2
Anfangswertproblem 159. 207
approximierbar, linear 37
äquivalent, topologisch 18
asymptotisch «-stabil 238
a)-stabil 238, 269
Attraktor 252
Aufenthaltszeit, relative 196
Ausgleichsgerade 129
Autoreifen 192
Awp 207
Azimutwinkel 104
Bahn
homokline 237
periodische 262
Banachalgebra 160
Banachscher Fixpunktsatz 95
Banane 83
Basin 252
Beschleunigungsvektor 21
beschränkt 28
beschränkte Abbildung 28
bilineare Abbildung 58
binomische Formel 66, 162
Bogenlänge 20
Brouwerscher Umkehrsatz 102
Cr-Abbildung 57
charakteristischer Exponent 240
Darstellung 33, 51
Darstellungssatz, Rieszscher 30
definit
negativ 72
positiv 72
Definitionsbereich 119
degeneriert 77
Determinante 167
diffeomorph, lokal 93
Diffeomorphismus 92, 99
lokaler 93
Differenzial 134
Differenzialform 133.134
Differenzialgleichung gewöhnliche 204
lineare 159
Differenzialoperator 164
differenzierbar, total 35, 37
differenzierbare Abbildung 6
Kurve 8
Differenzierbarkeits- kriterium 46, 59
Differenzierbarkeitssatz, zweiter 7
Dimension 117
Divergenz 52
Donut 192
doppelpunktfrei 2
doppelpunktfreie Kurve 2
Drehstreckung 175,176
dynamisches System 219
Eigenfrequenz 187
Eigenschwingung 187
Eigenvektor 128
Eigenwert 128
Einbettung 227
einfach
zusammenhängend 155
einfache Kurve 2
einfacher Weg 19
Einheitskreis 3
einschaliges Hyperboloid 119
Einschränkung 124
Einzugsgebiet 252
empfindliche
Abhängigkeit 216
Endpunkt 2
Energieerhaltungssatz 114
entartet 77
entarteter stabiler Knoten 173
Epigraph 85
Erhaltungsgröße 249
erste Ableitung 6
Erster Stabilitätssatz von
Lyapunov 249
erzwungene Periode 275
Evolutionsgleichungen 167
exakt 142
exakte i-Form 142
Existenz- und
Eindeutigkeitssatz 212
Existenzsatz von Peano 208
Exponent,
charakteristischer 240
Exponenzial 161
Extrema 71
Extremalstellen 71
/-definierte
Mannigfaltigkeit 121
Fermat, Satz von 71
Fixpunkt 95
Fixpunktproblem 95
Fixpunktsatz, Banachscher 95
Fläche 117
flächentreu 169
flächentreue Abbildung 169
Flachpunkt 111
Floquet, Satz von 276
Floquetdarstellung 276
Floquetexponent 283
Floquetmultiplikator 263, 279
trivialer 263
Fluss 217
maximaler 224
Flussabbildung 217
Flüsse, konjugierte 228
Flusssatz 217
Form
Pfaffsche 134
quadratische 38, 185
Formel, binomische 66,162
Fortsetzungssatz von Poincare 272
frei homotop 154
frei homotope Kurven 154
freie Periode 275
Freier Homotopiesatz 154
Frequenz, reduzierte 180
Fundamentalbereich 192
Fundamentallösung 167
Fundamentalmatrix 199
Fundamentalsatz 165
Fundamentalsystem 182
Funktion
harmonische 81
konvexe 85
strikt konvexe 85
Funktional, lineares 33
Funktionalmatrix 44
Funktionentheorie 27
Gebiet 145, 146
gedämpfte Schwingungen 180
Generator, infinitesimaler 166
Gesamtenergie 114
geschlossen 148
geschlossene
l-Form 148
Kurve 2
geschlossener Orbit 262
Weg 19
Geschwindigkeitsvektor 7, 21
gewichtete Norm 213
gewöhnliche
Differenzialgleichung 204
glatt 20, 58
glatte Abbildung 58
glatter Weg 20
Gleichgewichtslösung 207, 235
Gleichgewichtspunkt 207, 235
hyperbolischer 252
gleichungsdefinierte
Untermannigfaltigkeit 117
Grad 69
Gradient 51, 52
Gradientenfeld 14 6
Graph 3, 22
Gronwall, Lemma von 210, 233
groß-0 36
Gruppe 18
Gruppenhomo- morphismus 163
Hadamard, Lemma von 48, 61
halbeinfach 181
halbeinfacher Operator 181
harmonisch 81
harmonische Funktion 81
harmonischer Oszillator 178
Hartman-Grobman, Satz
von 253
Hauptsatz 11
für Wegintegrale 143
Hessematrix 68
Hessische 68
Hilbert 4
höhere
Richtungsableitungen 64
homokline Bahn 237
Homöomorphismus 18, 99
homotop, frei 154
homotope Kurven 151
Homotopie 151
Homotopiesatz 152
Freier 154
horizontaler Schnitt 152
Hülle, konvexe 83
hyperbolisch 252
hyperbolische periodische
Bahn 273
hyperbolischer
Gleichgewichtspunkt 252
Hyperboloid einschaliges 119
zweischaliges 119
Hyperfläche 53,117
Immersion 232
implizite Funktionen Satz über 107,110
indefinit 72
Index 78, 253
infinitesimaler Generator 166
inkommensurable 195
instabiler Knoten J72
Instabilitätskriterium 260
Instabilitätssatz 246
Integrabilitätsbedingung 148
Integral 249
parameterabhängiges 56
Integralgleichung 211
invariant, positiv 249
Invertierungsproblem 95
Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf 214
Jacobimatrix 44
Jordankurve 5
Jordanscher Kurvensatz 5
Jordanweg 19
Kegel 119
Kettenregel 38
Kleine Nenner 187
klein-o 36
Knoten
entarteter stabiler 173
instabiler 172
stabiler 171
Kodimension 117
koerziv 130
Konfigurationsraum 204
konjugiert, topologisch 252
konjugierte Flüsse 228
Vektorfelder 228
konstante Kurve 3
Kontraktion 95
konvergent absolut 161
normal 161
konvex 83, 85
strikt 85
konvexe
Funktion 85
Hülle 83
Menge 83
Konvexkombination 84
Koordinatentrans- formation 102
koordinatenunabhängig 65
Kreisscheibe 25
kritischer
Punkt 72, 115, 207
Wert 119
Kunstgriff 95
Kurve 2, 117
differenzierbare 8
doppelpunktfreie 2
einfache 2
geschlossene 2
konstante 3
nullhomotope 155
parametrisierte 2
reguläre 20
Kurven
frei homotope 154
homotope 151
Kurvenintegral 137
Kurvenlänge 13
Kurvensatz, Jordanscher 5
Lagrangemultiplikator 125
Landausymbole 35
Länge 19, 65
Länge einer Kurve 13
Längenfunktion 15
Laplaceoperator 52, 81
Lebesgue 198
Leibnizformel, allgemeine 129
Lemma
von Gronwall 210, 233
von Hadamard 48, 61
von Morse 78
von Poincare 149
von Schwarz 55
Libration 237
Lieableitung 248
Lienardgleichung 281
linear approximierbar 37
lineare
Differenzialgleichung 159
lineares Funktional 33
Linearform 133
Linearisierung 91
Liouville, Satz von 168
Lipeomorphismus 99
lipschitz, lokal 50
lipschitzstetig, lokal 208
Löcher 151
Logarithmus 277
lokal
diffeomorph 93
lipschitz 50
lipschitzstetig 208
lokale Lösung 207
lokaler
Diffeomorphismus 93
Schnitt 264
lokales Minimum 71
Lösung 159, 204
lokale 207
maximale 223
partikuläre 91
Lyapunov
Erster Stabilitätssatz
von 249
Satz von 241
Zweiter Stabilitätssatz von 251
Lyapunovfunktion 249
Mannigfaltigkeit 117
/-definierte 121
Matrixdarstellung 33
maximale Lösung 223
maximaler Fluss 224
Maximalstelle 71
Maximumprinzip 82
Menge
konvexe 83
sternförmige 149
wegzusammenhängen-
de 144
minimale Periode 262
Minimalstelle 71
Minimum, lokales 71
Mittel
räumliches 197
zeitliches 197
Mittelwertsatz 25, 60
Monodromiematrix 278
Monom 69
Morse, Lemma von 78
Multiindex 65
Multiindex-Notation 54, 65
Nablaoperator 52
negativ definit 72
semidefinit 72
Neilsche Parabel 8, 17
Nenner, Kleine 187
nichtdegeneriert 77
nichtentartet 77,186
nilpotenter Operator 163
Niveauflächensatz 116
Niveaumenge 110
Norm
adaptierte 199, 241, 270
gewichtete 213
normal konvergent 161
Normalengleichung 53
Normalenvektor 123
Normalform, reelle 175
Normalraum 123
nullhomotope Kurve 155
co-instabil 238, 269
co-stabil 238, 269
asymptotisch 238, 269
Operator 95
halbeinfacher 181
nilpotenter 163
Operatornorm 29, 160
Orbit, geschlossener 262
orientierungstreu 18
orientierungsumkehrend 18
Orthonormalbasis 34
Oszillator, harmonischer 178
Parabel, Neilsche 8, 17
Paraboloid 76
parameterabhängiges
Integral 56
Parametertransformation 18
parametrisierte Kurve 2
Parametrisierung 2,18
Parametrisierung nach der
Bogenlänge 20
partielle Ableitung 42, 54
partikuläre Lösung 91
Peano
Existenzsatz von 208
Satz von 4
Peanokurve 4, 26
Periode 262
erzwungene 275
freie 275
minimale 262
periodische Bahn 262
periodische Bahn,
hyperbolische 273
periodischer Punkt 262
Pfaffsche Form 134
Phasenportrait 115, J70, 171
Phasenraum 204
Picard-Lindelöf
Iterationsverfahren von 214
Satz von 214
Poincare
Fortsetzungssatz von 272
Lemma von 149
Poincareabbildung 266
Polarwinkel 104
Polygon 23
Polygonzug 13
Polynom 69
positiv definit 72
invariant 249
semidefinit 72
Potential 146
Potentialfeld 146
Produktregel 61
Produktsatz 161
pull back 226
Punkt
kritischer 72, 115, 207
periodischer 262
regulärer 92, 115, 229
singulärer 92, 115, 229
stationärer 72
push forward 226
Quader 80
Quadrat 124
quadratische Form 38, 185
Taylorformel 68
Quasipolynom 190
rational
abhängig 193,196
unabhängig 193,196
räumliches Mittel 197
Rayleighquotient 61
Rechenregeln 9, 36, 142, 162
reduzibel 279
reduzierte Frequenz 180
reell analytisch 70
reelle Normalform 175
reeller
Spektralzerlegungssatz 188
regulär
im Punkt Xo 92
stückweise 24
reguläre
Abbildung 92
Kurve 20
regulärer
Punkt 92, 115, 229
Wert 119
Reibungskoeffizient 178
rektifizierbar 13, 19
rektifizierbarer Weg 19
Rektifizierungssatz 229
relative Aufenthaltszeit 196
Restglied 64
Richtung des steilsten
Anstiegs 53
Richtungsableitung 41
Richtungsableitungen,
höhere 64
Rieszscher
Darstellungssatz 30
Rotation 52, 148
Sattel 171
Sattelpunkt 77
Satz
über implizite Funktionen
107, 110
von Fermat 71
von Floquet 276
von Hartman-Grobman 253
von Liouville 168
von Lyapunov 241
von Peano 4
von Picard-Lindelöf 214
von Taylor 64, 67
Schnitt
horizontaler 152
lokaler 264
transversaler 264
vertikaler 152
Schnittabbildung 266
Schnittlemma 265
Schrankensatz 12, 49
Schubfachprinzip 195
Schwarz, Lemma von 55
Schwerpunkt 80
Schwingungen gedämpfte 180
ungedämpfte 180
semidefinit negativ 72
positiv 72
Senke 252
Separatrix 237
singulärer
Punkt 92, 115, 229
Wert 119
Skalarprodukt 33
adaptiertes 241
SN-Zerlegung 188
Spaltenvektor 32, 51
Spektralzerlegungssatz,
reeller 188
Spektrum 240
Spur 2, 167
stabiler Knoten 171
Stabüitätssatz 241, 270
Stammfunktion 10, 142
Stammfunktionensatz 10
Standardbasis 34
Standardeinheitsvektoren 34
Standardfall 34
Standardskalarprodukt 34
Standardvektorraum 33
stationärer Punkt 72
sternförmige Menge 149
stetig differenzierbar,
stückweise 136
stetige l-Form 136
stetiger Weg 18
Stetigkeitssatz 216
Strecke 3
strikt konvex 85
strikt konvexe Funktion 85
Strudel 176
stückweise regulär 24
stetig differenzierbar 136
stückweise Cr 23
Stützebene 88
Stützgerade 88
System
dynamisches 219
überbestimmtes 105
unterbestimmtes 105
Tangente 8
Tangentialebene 52, 88
Tangentialraum 121
Tangentialvektor 7, 121
Taylor, Satz von 64, 67
Taylorformel, quadratische 68
Taylorpolynom 64
Taylorreihe 70
Terminologie 2, 18
topologisch äquivalent 18
konjugiert 252
Torus 192
total differenzierbar 35, 37
totale Ableitung 35
Transformationsformel 280
Transformationsgesetz 226
Transformationsmethode 225
Translationsoperator 164
Transposition 32
transversaler Schnitt 264
trivialer
Floquetmultiplikator 263
überbestimmtes System 105
Umkehrsatz 91, 93
Brouwerscher 102
unabhängig, rational 193,196
ungedämpfte
Schwingungen 180
Ungleichung, Youngsche 127
uninteressant 231
unkonvex 83
unterbestimmtes System 105
unterhalbstetig 14
Untermannigfaltigkeit, gleichungsdefinierte 117
Variationsgleichung 222
Vektoranalysis 52
Vektorfeld 134, 204
Vektorfelder, konjugierte 228
Vektorpfeil 32
Verbindungsstrecke 48, 83
vertikaler Schnitt 152
Volumen 80
volumenerhaltend 169
Weg 18
einfacher 19
geschlossener 19
glatter 20
rektifizierbarer 19
stetiger 18
Wegintegral 140
Wegintegrale, Hauptsatz
für 143
wegzusammenhängend 144
wegzusammenhängende
Menge 144
Wert
kritischer 119
regulärer 119
singulärer 119
Windungsform 138
Youngsche Ungleichung 127
Zeilenvektor 51
zeitliches Mittel 197
Zeit-t-Abbildung 218
Zentrum 149,176
Zielfunktion 126
zusammenhängend,
einfach 155
zweischaliges Hyperboloid 119
zweite partielle Ableitung 54
zweiter
Differenzierbarkeitssatz 7
Zweiter Stabilitätssatz von Lyapunov 251
